Fkobenius: liier dns Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. 24 i 



4. Man kann die Variabeln einer beliebigen quadratischen Form 

 Z^a^scjOg, vom Range r stets in einer solchen Reihenfolge 

 mit x I ,x 2 ....x n bezeichnen, dass unter den Grössen 



(2.) A a = 1 , i I = o II , A 3 = ",,(',, — o' I2 A r = ^?±a Il . . .a„ 



nie zwei aufeinander folgende Verschwinden, und dass A,. 



von Null verschieden ist. 

 Wenn die « Elemente a aa nicht sämmthch verschwinden, so wähle 

 man die erste Variable so, dass a,, von Null verschieden ist. Wenn 

 die Unterdeterminanten a Ix a aa — a\ a nicht sämmtlich verschwinden , so 

 wähle man die zweite Variable so. dass A 2 von Null verschieden ist, 

 u. s. w. Gelangt man so bis zu der von Null verschiedenen Deter- 

 minante A. = "^ ± f/„ . . . a , sind aber alle Unterdeterminanten 



"% ± c„ . . . a a aa (a = o-t- 1 . . . . «) 



Null, so können, falls p < r ist, nach 1. nicht alle Unterdeterminanten 



N ± a ti . . . a a aa a . . (a, ß = p-*- 1 , . ..n) 



verschwinden. Daher kann man x., und x„. , so wählen, dass zwar 

 A +I = o. aber A +2 von Nidl verschieden ist. Ergiebt sich also bei 

 Anwendung dieser Regel A r _ 1 — o, so wird A,. von Null verschieden. 

 Alter auch wenn A r _, von Null verschieden ist. können nicht alle LTnter- 

 determinanten ^ ± a sl . . . ß r _ Iir _ I GS„„ = o sein. Denn weil r der Rang 

 der Form ist, sind alle Unterdeterminanten (r + 1 ) ten Grades 



^ ± a„ . . . (/,-_, ,._, an.. = o. 



und folglich müssten nach 1. alle Unterdeterminanten r tea Grades ver- 

 schwinden, also der Rang des Systems kleiner als /'sein. Man kann 

 aber auch von irgend einer nicht verschwindenden Hauptunterdeter- 

 minante A r ausgehen, die nach 3. stets existirt, zu dieser eine nicht 

 verschwindende Hauptunterdeterminante A r _, suchen u. s. w. Kommt 

 man dann zu einer Hauptunterdeterminante A +I , deren Hauptunterdeter- 

 minanten p ten Grades alle Null sind, so können doch, da A... von 

 Null verschieden ist, nicht alle Unterdeterminanten p ten Grades von A +t 

 verschwinden. Ist z. B. der Cocth'cient B von a 3 , e+I von Null ver- 

 schieden, und bezeichnet man den Coefiicienten von a mit C„ so i-t 

 nach der Formel A +1 A , = A C — B* = — B 2 die Determinante A _ t 

 von Null verschieden. 



Endlich kann man auch mit irgend einer nicht verschwindenden 

 Hauptunterdeterminante A t (o < s < /•) anfangen und zu dieser 



A s+I . A s+2 1,. und A,_, . A s _ 2 . . . A x 



den geforderten Bedingungen gemäss bestimmen. 



