_ x tf<^' = 



250 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 8. März. 



wird also ein Product von zwei reellen linearen Formen und hat folglich 

 die Signatur o. Ebenso ist aber in der Formel (6.) die Summe der 

 beiden Glieder 



sign (A t _ t A t ) -+- sign {A ? A ?+1 ) = o. 



gleichgültig ob man A. als positiv, negativ oder als verschwindend 

 betrachtet. 



Die obige Umformung' kann man auch mit Hülfe des SyLVESTEH'schen 

 Determinantensatzes ausführen. Nach diesem erhält man direct 



A, B, iL 

 II C. z { 



y, ~, V f ~ 



also nach Gleichung (i.) die Formel (7.). 



Der Vollständigkeit wegen füge ich noch folgende Bemerkung 

 hinzu. Weil A von Null verschieden ist, sind £,,....£,, r von ein- 

 ander unabhängige lineare Functionen von ,i\ . . . .x„. Nun hängt y nur 

 von ',....?. ab. und der Coefficient von £ ist A, ,, und z. hängt 

 nur von £ T , . . . £ +I ab, und der Coefficient von £ +1 ist .4. ,. Dabei- 

 sind die an Stelle von £,,...£,. eingeführten /• neuen Variabein unab- 

 hängige lineare Verbindungen dieser /■ Veränderlichen. 



Das oben erhaltene Ergebniss ist übrigens ganz der Regel analog, 

 zu der man durch Anwendung einer reellen orthogonalen Substitution 

 geführt wird. Durch eine solche kann man die quadratische Form £ 

 stets in c T y\ + . . . -+- c r y* transformiren. Die r (verschiedenen oder 

 gleichen) Coefficienten r, . . . . c r sind die r nicht verschwindenden Wur- 

 zeln der charakteristischen Gleichung 





(«,ß = i, 



n), 



wo e aS) = O oder 1 ist, je nachdem a. und 8 verschieden oder gleich 

 sind. Da die Wurzeln dieser Gleichung 



a x — a z x + a 2 x . . . + ( — i) a r x = o 



alle reell sind, so können nach der HAKRior'schen Regel nie zwei 

 auf einander folgende der Coefficienten 



n n 



<i, 



ii. 



. a r 



verschwinden, und wenn a=o ist. so haben a , und a e+I entgegen 

 gesetzte Vorzeichen. Daher ist 



(8. 



= >^ sign ("_,".> 



die Differenz zwischen der Anzahl der positiven und der negativen 

 Wurzeln der charakteristischen Gleichung, also gleich der Signatur 

 der Form £. 



