Frobenius: Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. _ol 



Als Anwendung der oben entwickelten Regel berechne ich die 

 Signatur einer quadratischen Form, bei welcher a ul = o ist. falls 

 a-t-ß^n ist. Dagegen sei ihre Determinante 



» («-■) 

 A = A n =( — i) ",.„''.•.,.-. . . . a n<l 



von Null verschieden. 



Ist n =■ 2m gerade, so ist 



A = ( I )'"(/], „«;,„_, • ■ •<', = „./,H-I- 



Dann betrachte ich die Reibe der Determinanten 



A = i . d, = r/,„ m = o . A 2 = X ± "„,.„/'„,+, . ,„ +I = — ";,,.„,+, • 



A } = - ± ß |11 -i,i»-i fl » 1 ,m ö m +i,m+i = ° • ^ = - — "„,-,.,„-, ■ ■ • ",„ + ;,,„_,_.. 



= ( 4,»+X-i.»+)! u - s - u - 



Diese Grössen haben die Vorzeichen 



+ I . O , — I , O . -f- I , O . . . . O . ( — I )'" . 



und mithin ist die Signatur der Form s = o. 

 Ist aber n = 2?n — i ungerade, so ist 



A =( — i )'"^ l <i m ,, „'/„_,,•„,+, ■ • ■";',„• 



Dann betrachte ich die Reibe der Determinanten 



A = I . A t = a,„„, . A 2 = 5 dfc ",„_,.„,_,"„,.„, = O . 



A, = i, db a m _j , m — I Ct m , m <Im+i,m+i == a m,m a m— i,m+i > 



A< = - ± ö m _ 2 , m _ 2 • • .«„+,,„+, = O, 



-^5 = — — ",„ — 2.,,, — 2 • • • ßm + 2, 171 + 2 = + ",„.,„",«— I.m+l",« — 2. m + 2 > U - S - W - 



Bezeichnet man das Vorzeichen von r/,„ ,„ mit e, so haben diese 

 Grössen die Vorzeichen 



I, E, O, £ , ... O, ( l)'" _, £ , 



und mithin ist die Signatur der Form s = £ oder 

 (9-) * = (— if 7 " sign (4). 



§•4- 

 Die entwickelte Methode bleibt auch noch anwendbar, wenn in 

 der Reibe der Grössen (2.) §.2 nie mehr als zwei auf einander fol- 

 gende verschwinden. Sei A i+I = -A f+2 = o , aber A und j4 ;+3 von 

 Null verschieden. Setzt man dann, indem man als einen festen 

 Index betrachtet. 



