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Über das Trägheitsgesetz der quadratischen 

 Formen. 



Von G. Frobenius. 



(Fortsetzung und Schluss der Mittheilung vom 8. März, XII.) 



§.8. 



Jtliine besonders merkwürdige Folgerung lässt sich aus diesem Satze 

 ziehen für den Fall, dass das System 



(I.) a a+S (,. :'=0,1,2,...) 



unbegrenzt, aber nur von endlichem Range r ist. Ist r ;> o, so können 

 die Grössen a , «,, a 2 , . . . nicht alle verschwinden. Ist 



alicr a ,_, von Null verschieden, so ist A v = ± «*_,. Daher sind die 

 Determinanten A t , A 2 , . . . nicht sämmtlich Null. Da aber stets A 7 = o 

 ist. wenn tr>r ist. so giebt es einen grössten Werth p(^ r), für den 

 A von Null verschieden ist. Dann sind A +1 , A 1+ , . . . . alle Null, und 

 mithin nach dem obigen Satze auch alle Determinanten B cti . Nach 

 dem Satze von Kroneckek verschwinden daher in dem System (i.) 

 alle Determinanten (p -+- i )'''" Grades, und da A von Null verschieden 

 ist, so ist c gleich dem Range r des Systems. 



Ist r der Rang eines unbegrenzten recurrirenden Systems, 



so ist A,. von Null verschieden. 

 Dieser interessante Satz von Kronecker (Monatsher. 1881, S. 560) 

 gilt aber nur für unbegrenzte Systeme. Ist das System 



(2.) 11 :+ . («,ß = o, !,...»— 1) 



begrenzt (vom Grade n), so kann, wie das einfachste Beispiel 



n = 2 , a = a x = o , r = 1 



zeigt, A r = o sein, oder wenn wieder p der grösste Werth ist. für den A 

 viin Null verschieden ist. so kann r — p = '<r >■ o sein. In diesem Falle 

 ist nun. wie ich jetzt zeigen will, stets die Determinante /•"" Grades 



