Frobenius: Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. 41 8 



Da aber dies Vorzeichen von x unabhängig ist, so hebt sich dies 

 Glied in der Differenz (3.). 



Dagegen liefert der Übergang von F +r _ 1 zu F +r den Beitrag 



(12.) sign (F t+M F l+r ) = sign (A- +r Aj <i+r F ( F t+r ). 



Daher ist As gleich der Änderung, die der Ausdruck 



( 1 3-) 2 sign (F x _ F) = ^ sign (A.A.JIF,) 



beim Übergänge von x zu x' erfährt. Dein Summationsbuchstaben A 

 sind links nur die Werthe zu ertheilen, für die A, (A >» o) von Null ver- 

 schieden ist, Da aber für die anderen Werthe F x _ z F, verschwindet oder 

 falls A, = o , A x _j und A x+t von Null verschieden ist, ein Quadrat ist 

 [Kronecker, a. a, 0. S. 100 {F')], so kann A auch alle Werthe von 1 bis 

 n — 1 durchlaufen. Für die Signatur s selbst ergiebt sich aus der obigen 

 Entwicklung die Formel 



( 1 4-) * + Ä = ^£ sign (F x _, F t ) , 



wo die Summe nur über die oben defmirten Werthe von A zu er- 

 strecken ist, und die Constante h den Werth 



(15.) h =^ Sign {A K A^) (X-x gerade) 



hat, 



Ist speciell x' = -+- 00 und x = — 00, so hat sign (F^_ t F x ) für 

 diese beiden Grenzwerthe gleiche Werthe, wenn der Grad von F X _ X F 7 

 gerade ist, aber entgegengesetzte, wenn er ungerade ist. Sind nun A x 

 und A k (A ;> •*) von Null verschieden , während A x+I . . . A- h _^ ver- 

 schwinden, so ist 



(10*.) A K) F,_ I = A-,F x . 



Daher ist der Grad von F X _ Z F^ gleich x + A. und wenn x + A 

 ungerade ist, so hat der Coefficient von x" +> dasselbe Vorzeichen, 

 wie A K A yl . 



Folglich ist für diesen Fall 



(16.) — As = V sign (A„.A„ X ) (X-x ungerade) 



ausgedehnt über die Glieder der Reihe 



A A a A z . . . A x A,... A T . 



für welche A — x ungerade ist, Dieselbe Regel ergiebt sich direct aus 

 dem in §.7 erhaltenen Resultate, nach welchem die rechte Seite der 

 Gleichung (16.) gleich s = — s ist. 



