Frobenius: Über das Trägheitsgesetz ilcr quadratischen Formen. 417 



nicht zwei auf einander folgende für denselben Werth von x ver- 

 schwinden, weil sonst nach (i [.) auch F (= i) für diesen Wert li ver- 

 schwände. (Derselbe Satz wird in ;;. 1 i durch directe Berechnung 

 der Resultante von F x und F„ bewiesen). 



Bezeichnet man jetzt wieder mit A } und A + , zwei aufeinander 

 folgende Glieder der Heilte (13.), so liefern die Determinanten F e _„ 

 /•' . F + ,_ IS F 3+7 lür die Signatur s den Beitrag 



( 1 5-) sign (F_, F.) + sign (F i+r _,F ;+7 ) , 



und dazu kommt noch, falls er — 1 ungerade ist, das Glied 



(16.) — (— i) ; 'sign(4 +r ^,, +r ), 



das siel in der Differenz s' — s aufhebt. Dabei ist aber vorausgesetzt, 

 dass für den betrachteten Werth von x keine jener Functionen den 

 Werth Null hat. Ist aber F = o , also auch F 1+ ,_ l = 0, so sind F i _ I 

 und F +r von Null verschieden und diese beiden aufeinander folgenden 

 Determinanten liefern dann nach (13.) §.7. zur Signatur den Beitrag 



Null oder ( — i) 2 sign(F ' ,F + ,). je nachdem er ungerade oder gerade ist. 

 Nach Formel (8.) ist aber, weil /•' = o ist, A*F !+ir = —A (+r A vt+r F ( _ 1 , 

 und mithin ist jenes Vorzeichen gleich (16.). Demnach bleibt die For- 

 me] (13.) §. 9 auch für solche Werth e von x unverändert gültig, für 

 die eine der Functionen /•' verschwindet, deren Index p<r ist. In 

 dem hier betrachteten Falle bleibt dies Ergebniss auch für p = r gültig. 

 Denn weil das System f a+ g, nach der Voraussetzung einen Theil eines 

 unbegrenzten Systems bildet, wird sein Rang für einen Werth von x, 

 für den F r = o ist. gleich der in der Reihe (16.) §. 7. mit p bezeich- 

 neten Zahl. 



Das in der Formel (1 3.) §. 9. ausgesprochene Resultat lässl sich 

 nun mit Hülfe der Recursionsformel (1 1.) und der Stetigkeitsbetrach- 

 tungen, die der STUEM'schen Deduction zu Grunde liegen, auf eine 

 andere Form bringen. 1 tu die Aenderung zu ermitteln, welche der 

 Ausdruck (13.) §. 9. in einem gegebenen Intervalle erfährt, lasse ich die 

 Variable ,r dasselbe Stetig wachsend durchlaufen. Dann kann sich jener 

 Ausdruck nur an einer solchen Stelle ändern, wo eine der Functionen 

 F verschwindet. Ist A<r, so sind an dieser Stelle F„ und F w von 

 Null verschieden. Aus (10*.) §. 9. und (8*.) folgt aber 



(17.) aif u _,f u — a^f, /•:,_, -f-FF—F =0, 



wo /■' ,_, dem F, und F _, dem h\ proportional ist. Wenn nun /•' . . 

 also auch F„_, für einen bestimmten Werth von x von der ///"'" Ord- 

 nung verschwindet, so verschwindel in jener Formel das erste und 

 dritte Glied genau von der Ordnung m, das mittlere aber mindestens 



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