Frobenu's: Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. 419 



von p ■+■ i Zeilen und p + 3 Spalten die Relation (2.) §. 10 an. so erhält 

 man die Formel (2.). 



Seien F(x) und G(x) zwei ganze Functionen von den Graden r und 

 r ', A der Coefficient von x r in F, und sei 



(3.) R=A r TlG(x,) 



ihre Resultante, wo das Product über die r Wurzeln x, der Gleichung 

 F{x) = o zu erstrecken ist. Setzt man dann 



F{x)G{y)-F{y)G{x) 

 x — y 



so ist. falls r' <_r ist. 



= 21 '*«**v» 



( 4 .) 2 =*= fi oo ■ • • K-*. ,— = ( — 1 ) 2 "' 'U'-'-'ie. 



Ist nun .4, von Null verschieden, und betrachtet man —r-G (x.y) 



als bilineare Form von i,x, . . . x'-~' und i,y, . . ■ y-~* , so ist sie die 

 reciproke Form von ^1 ' a «+& x «yti > und folglich ist ihre Determinante 



gleich A~'. Ist also der Grad von F ' , gleich p', so ist die Resultante 

 von F. und F , gleich 



(5.) {-ly^A'+t- 1 . 



Damit ist von neuem bewiesen, dass F und F '_, theilerfremd sind, wenn 

 ^1 3 von Null verschieden ist. 



Die Grössen a a ,a z , . . . a,„_, genügen nur der einen Bedingung, dass 

 A r von Null verschieden ist, wenn r der Rang des Systems a a+/i ist. 

 Die Coefficienten der Functionen F r und i^^, sind ganze Functionen 

 von a ,a t , . . . a 2r _ a von den Graden r und r' < r. Sind umgekehrt 

 diese beiden Functionen bekannt, so ist A,. der Coefficient von x r in 

 .F,.. Aus der Formel (2.) ergeben sich dann die Coefficienten b a& der 

 bilinearen Form 



(6.) ~G r {x.y)=^ r ~ l b al x"y r \ 



Ist ^(i ai x c ,yi ihre reciproke Form, so ist, wie Jacobi (a.a.O. §.5) 

 gezeigt hat, und ich in §.12 auf einem directeren Wege beweisen 

 werde, a ai = a a+i nur von der Summe der Indices abhängig. Hat 

 man so a ,a l , . . . a 2r _ 2 bestimmt, so wird der Ausdruck (6) §.9 für 

 F r eine lineare Function von a 2l ._ z 



(7-) F T = — a„_ I F r _ I (x) + H ) 



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