Fbobenius: Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. 423 



wo die Sumrnation so lange fortzusetzen ist, bis der erste Index o 

 oder der zweite n wird. Aus der Identität 



(7-) dond«s, + do a d in ■+■ d oS> d na = o 



folgt 



(8.) a ,n— i ö «, 3-i — a o. 3— iö«, B — i = a n—r,o a a —j,ß — a n— i, a a — i, o • 



Sind allgemeiner a /3 . . . S- irgend r der Indices i , 2 , . . . n — i und 

 ebenso x X . . . r , so ist 



/ o ol fo ... S-\ fn — i ol — 1/3 — 1...3- — ] 



\n — i * — i a — i . . . r — i y \ O X A ... T 



Die Gleichheit dieser beiden Unterdeterminanten (r + i) ten Grades ist 

 von Jacobi [a.a.O. §.12,(40)] gefunden, seine Angabe über das Vor- 

 zeichen dz ist aber unrichtig. Nach dem Satze von Sylvester ist 

 nämlich 



a o7a — l ^ — a o, » — I a a, *— I • • • ^C-.r-l 



= 2, -fc (« 0> n-i ft «,x-i a o, *-i °«, n-i) • • • ( ö o, n-i %, t— 1 °o,t— i%,n— 1) 



= ]S — ( a n— i,o a «-i,« ß n— i,* a a— i,o) • • • (^n— i,o°5— i, T °n-i,r%-i,o) 



= Q»~ 'l.o^ iö n - z,o a a— i,k • • • %— i,t- 



Daher gilt die Formel (9.), wenn a on _ 1 von Null verschieden ist, und 

 folglich gilt sie auch für alle Werthe der Variabein p> , </,. Z. B. ist 



o 1 2 . . . n — 2 \ fn — 1 o 1 ... ri- 



tt — 1 1 2 ... 11 — 2 ) \ o 2 3 . . . n — 



oder falls A <ti in der Determinante A n = "V ± a oa . . . a n _ Ijffl _ I der 

 Coefficient von a al ist, A n _ 1 >0 = A„_, >T und ebenso allgemein A« 3 _, 

 = A a _ Ij/3 . Mithin bilden die Grössen A„ ;S ein recurrirendes System. 

 Aus der identischen Gleichung 



d aX d xli ■+■ d aK d^ + d c „J Xx = o 

 folgt nach (4.) 



, / OL X \ (ol IX l\ / OL a \ (ol I JU. l\ 



(, °- ) V -,) + l , ) + l«-. A-) + ( x ) 



ol A \ /ä — 1 A — 1 " 

 ja IX I J \ \a 



Denn jene Gleichung kann man schreiben 



V [xAju] d aX d XiA = o ; 



die Summe erstreckt sich über alle Permutationen der Indices x, A, \a, 



