424 Gesammtsitzung vom 10. Mai. 



das Zeichen |xAju] ist für eine bestimmte Permutation gleich i . und 

 für jede andere gleich -+- 1 oder — i . je nachdem sie aus jener durch 

 eine gerade oder ungerade Substitution hervorgeht. Daher ist 



]V [xA|u] («„,,._, — O„_i,0 (",.,,-i — «»_,,„) = O. 



Nun ist aber "V [xAju] er, ,_,(/„ u _, =^V — [xAju] «„.,._,«„_, iM , weil die 



erste Summe ihrer Bedeutung nach bei Vertauschung von x und ,u un- 

 geändert bleibt. Mithin ergiebt sich die Gleichung 



^£ [aXfj.] (a„,x_iö!», l :_i + fl»_i,ifl»_,, J = o, 



die mit der Formel (n.) übereinstimmt. Seien allgemeiner aß . . . 3-x 

 irgend r (>■ i) der Indices o. i . . . . n — i und ebenso K\x . . . <jt. 

 Setzt man dann zur Abkürzung 

 ot/3...S-x\\ / OL ß ... 3- x \ ta — i ß — I...S- — i x — i 

 A \x . . . u t) J yA — i n — i ... er — it — i / y A U. ... ff T 



so bestellt die Relation 



<->((:::::::))=((:::::::))-((:::::;:))—((:::::::))■ 



Man kann dieselbe so schreiben 



"V [xXfJL . . . <7t\ (0 BiX — iOß,M— i • ■ • %,=-— i f/ *,- — i "+" a a— i,x a j9— i.b • • • %-i, t ",-i.J = O. 



Da diese Formel für r = 2 schon bewiesen ist. will ich voraussetzen, 

 sie sei für Determinanten (r — i) k " Grades richtig. Dann ist 



"V [*AjU . . . CT] (ö 3u _, . . . S , „._,«„, r _j+ °ß— l,n • • • °5— l,ir a K— i,t) = °» 



falls man nur x., \x, . . . o", t permutirt (nicht A). Multiplicirt man mit 

 "„,;_,, vertauscht dann auch A mit den übrigen Indices und addirt die 

 so erhaltenen Gleichungen, so ergiebt sich, falls man in der zweiten 

 Summe x und t vertauscht, 



"> jxAju . . . tt] (a Uil _ 1 a &ttt _ l . . . Sj,,.^,,,., — ß«,x— i^ß— 1,„ • • • #&— i,,r ß x,T— i) = °- 



Nun ist aber nach (n.) 



"V [xAju . . . <tt] (s, i4 _ I .a, it _,+ a«_ IiX o„_ Iit ) = o, 



falls man nur x, A, r vertauscht. Multiplicirt man mit a l _ llx . . . %_,,, 

 und vertauscht dann die Indices |U, . . . er mit einander und mit x, A, r 

 und summirt, so ergiebt sieb 



und durch Addition der beiden entwickelten Gleichungen die zu be- 

 weisende Relation. 



