426 Gesammtsitzung vom 10. Mai. 



setzt, so ist 



(18.) J;-J ;+r = (-i) Tr(r ""^: ;+ ,. 



Der Beweis passt aber nicht auf den Fall p = o, wo A a = i und 

 B ai = a ai ist. Wenn die Grössen a ao , a OI , . . . o , r _, verschwinden, so 

 kann man nur dann mit Sicherheit behaupten, dass auch A z , A 2 , . . .A T _, 

 verschwinden, und dass die Grössen 



O cti (a,ß = 0,I r — i) 



ein recurrirendes System bilden, wenn p und q nicht beide Null 

 sind. Denn unter dieser Voraussetzung folgt aus 



a „_, = p a q a — q p cc = o , a 3 _, = p q, — q pi = O 



(a, _ : =o.i er— l), 



dass auch yv/. — ,P;3« = ° ist, also f/„, :_, = (■?«_,. ; . 



Angenommen ^ , ^_, , . . . A +1 verschwinden, und c ist der 

 grösste Werth. für den A von Null verschieden ist. Dann bilden 

 die Grössen 



B a i — B«+i («,ß = o,i,...n— p— i), 



ein recurrirendes System, in dem B . B,, . . . B,__, verschwinden. 

 Dies folgt daraus, dass alle Determinanten (p+i) ten Grades auf der rech- 

 ten Seite der Gleichung (13.) Null sind. Nun gilt aber diese Gleichung 

 auch für ,0 =n — 1 [und ist dann identisch mit der Gleichung (9.)]. Da 

 für diesen Fall die zweite Determinante links identisch verschwindet, 

 weil a„„ = o ist, so zeigt sie, dass auch B an _' = B n _ 1<a = o 

 ist, also die Determinanten B r . sämmtlich verschwinden. Da A von 

 Nvdl verschieden ist, so verschwinden folglich nach dem Satze von 

 Kronecker alle Determinanten (e + i) ,cn Grades des Systems <i ici , und 

 mithin ist sein Rang r = 0. 



Der Rang r der Form ( 1 .) ist der grösste Werth p, für den A, 

 von Null verschieden ist. ausgenommen wenn p Q = q = o ist. 



In diesem Falle ist nämlich a oa = ß OI = . . . ö , n — 1 = °> un( l 

 mithin A t = A, '= . . . = A„ = o , während der Rang r == o , 1 , . . . 

 oder n — 1 sein kann. 



Aus den entwickelten Sätzen ergeben sich nun für die Signatur s 

 der Forin (1.) genau dieselben Formeln, die wir in §. 7 für die 

 Signatur einer recurrirenden Form gefunden haben. 



§•13- 

 Die erhaltenen Resultate wende ich auf eine quadratische Form 



an, deren Coefficienten f ai Functionen einer Variabein x sind, aber den- 



