Frobenius: Über den Rang einer Matrix. 27 



und mithin r/ =: a' = a" = . . • ^ ; sodann 



A"~^x = hA^'^v + b'A'~^v'A = , 



und mithin (') = i' = . . . ^ 0, usw. 



Die A^ Lösungen ti, u , u" , ■■■ heißen primitice, zum Exponenten v 

 (/ehör ende Lösungen. Für A„ der Ä„_, Lösungen v, v' , v" , ■■■ können und 

 sollen die Spalten Au, Au', Au", •■■ gewählt werden, da A^^iAu), 

 A"'"'(Au'), ■■■ unabhängig sind. Die übrigen A„_,-A, dieser Lösungen 

 heißen primitive, zum Exponenten v-l gehörende Lösungen. Für 

 A„_, der A„_2 Lösungen w, w' , w", ■■■ können und sollen die Spalten 

 Av, Av', Av" , ••■ gewählt werden, von denen die Spalten Ä'u, Ä^u', 

 A''u", ■■■ einen Teil bilden. Die übrigen A„_2-A„_, dieser Lösungen 

 heißen primitive, zum Exi^onenten v - 2 gehörende Lösungen usw. Die 

 gesamte Anzahl der primitiven Lösungen ist 



X, + (X,_,-X.,) + (\„_2-X,._,) +••■+(>.,- X^) = X, = ^. 

 Die iJ. Exponenten, zu denen sie gehören, mögen mit 



Xi > Ki > > Xu, > 



bezeichnet werden. Ist x einer derselben, und p eine primitive, dazu- 

 gehörende Lösung, so ist A" p = 0, und unter den oben gewählten 

 S Lösungen, die NormaUösimgen heißen mögen, befinden sich neben j3 

 die y. — 1 daraus abgeleiteten Lösungen Ap, A^p, ••• A''~^p. Ich nenne 

 sie eine Kette A^on Lösungen. 



Demnach zerfiillen die S Lösungen in fj. Ketten von je Xj , x., •■■ x„ 

 Lösungen, und es ist 



(14.) Xi + X.,+ ■■■ +X^=z & 



die Gesamtzahl der Lösungen der Gleichung A'x = . Von den Zahlen 

 /., , JCj , ■•■ y.^ sind A„ gleich v , a,_,-A^, gleich v-l, ••• A^.j-A^ gleich ß. 

 Daher sind (13.) und (14.) assoziierte Zerlegungen von i^; d.h. unter den 

 Zahlen x,, x^ ... x„ befinden sich A-, die >/3 sind, und unter den Zahlen 

 A, ,A2,-.-A„ befinden sich folglich x„ , die >oi sind; insbesondere ist 

 X, =; V und A, = u . Oder, wenn von den Zahlen A, ,A^,...a„ 



X^ i: a , X, + 1 < a 



ist, so ist x„ = X ; und wenn von den Zahlen x, , x^ , • ■ • x„ 



y.^^ß, xx + i < ß 



ist, so ist A^ = A. 



Dies kann man am einfachsten graphisch einsehen. Denn ist 



z. B. jJi = S und 



X, ==5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 



X2 = 3 = 1 + 1 + 1 



>C3 = 2 = 1 + 1 , 



