28 Sitzung der physikaliscli-inathematisclien Classe vom 12. Januar 1911. 



.SO ist V = 5, und A, , A., , • • • Aj sind die Summen der Elemente der 

 Spalten des obigen Schemas. Das analoge Schema für Xi,\, ■■■ A„ 

 ergibt sich also aus dem für Xj , /C„ , •• ■ x^ durch Vertauschung der ho- 

 rizontalen und der vertikalen Reihen. 



Nach (13.) ist v<^, also wenn wir zu den Bezeichnungen des 

 § 2 zurückkehren, 



0<K^a, 0<X^ß, 0<ju^y,.... 



Folglich ist \|/(.s) ein Divisor von (f{s), der aber durch jeden 

 Linearfaktor von cf>(s) teilbar ist. Demnach ist cf{A) = 0. 



§4- 

 Die Ä Noniiallösungen der Gleichung (A - aE)'x = seien 

 p,p',p", ■■■ , so geordnet, daß auf jede jjrimitive Lösung die aus ihr 

 abgeleiteten folgen. Die /3 Normallösungen der Gleichung {A - hEYx = 

 seien q , q , q" , ■■• , die y der Gleichung {A — cEy^x = seien r,r , r" , ■■■ . 

 Die aus diesen ot + /3 + 7 + • • ■ = « Spalten gebildete Matrix nten Grades 

 L = {p , p' ■■ ■ : q , q\ ■ ■ ■ \ r , r' , ■ ■ ■ ; ■ ■ ■) 



hat eine von verschiedene Determinante. Denn sonst könnte man 

 skalare Faktoren k,k',--- so bestimmen, daß 



kp + k'p' + ■ • • -\- Iq + l'q' + ■ • • + mr + m'r' + ■ • • =0 



wäre. Setzt man {s-bY(s-cY ... = %(s), so folgt aus (A-bEYq = 



die Gleichung %{A)q -- 0; ebenso ist %{A)r = 0. Daher wäre auch 



X(A) (kp + k' p' + ■■■) = 0, [A-aEY{kp + k'p'+ ■■■) — 0. 



Bestimmt man f{s) und (/(s) so, daß 



x(«)./(«) + (•'-«) "5' («) = 1 

 wird, so ist dann auch i 



{f(A) x(A) + y{A)(A - aEY) (kp + k'p' +...) = , kp + k'p' + . - . = , 

 und mithin A- = Ar' = ... = 0. 



Ist j9 eine primitive, zum Exponenten x gehörende Lösung, und sind 

 p' = (A-aE)p, p" = (A-aE)p'= (A-aEYp, ••■7/"-') = {A-aE)p(—'') — {A-^aEy-^p 

 die aus ihr abgeleiteten Lösungen, so ist 



(A-aE)p(''-') = (A-aEYp = 

 und mithin 



AL = (np-\-p\ ap' +p", ■■■ ap'-^ +p("-'>, ap(»-'); •••). 

 Ist B die Matrix wten Grades der bilinearen Form 

 B = a(x,y, + x^y^ + • • • + x,y,) + (x.,yi + x^y^ + • • • + x,y,.,) H , 



