Frobenius: Über den Rang einer Matrix. 29 



SO ist 



LB = [ap + p' , ap' + p" , ■ ■ ■ ap^"-'> +^(''~'' , ap^"-^)-. ■■ ■) 



und mithin 



AL=.LB, L-'AL = B. 



Umgekehrt haben zwei lihnUche Matrizen dieselben charakteristi- 

 schen Wurzeln, und fiir jede solche Wurzel a die nämlichen Rang- 

 zahlen Po , pi , Pj , • • • , also auch dieselben Zahlen (^^ , (^, , ^j , • • • , deren 

 Differenzen nach (lo.) die Zahlen -a^ , •^„, y.^ , . ■ ■ sind, und demnach 

 dieselbe Normalform B. Für B aber ist (s-a)*'' der größte gemein- 

 same Divisor der Unterdeterminanten (H-A)ten Grades von | sE- A | , 

 wie Stickelberger, Vher Scharen von büineareti und quadratischen For- 

 men, Grelles Journ. Bd. 86 S. 30 und Netto^ Zur Theorie der linearen 

 Substitutionen, Acta math. Bd. 17 S. 267 gezeigt hat. Aus der am Ende 

 des § 3 erhaltenen Relation x^ = v folgt insbesondere, daß, wenn -4^(8) 

 = ■4/(s)S-(s) ist, S-(s) der größte gemeinsame Divisor der Unterdeter- 

 minanten (m-1)'™ Grades von \sE-A | = cp(s) ist. 



VII. Enthält die Determinante der Matrix A-sE den Faktor s in 

 der Potenz s\ und enthält ihn der größte gemein.sarne Divisor ihrer De- 

 terminanten {ii-KY'^ Grades in der Potenz s^^, ist ferner p^ der Rang der 

 Potenz A\ so sind die beiden Zerlegungen von ^ 



assoziierte Zerlegumjen. 



