20 Sitzung der physikalisch-mathematisclien C'lasse vom 12. Januar 1911. 



die Funktion ItA-oEy-sE] der Variabein s nebst ihren ersten a'-l 

 Ableitungen. Nun ist aber eine ot fache charakteristische AVurzel der 

 Matrix A-aE und folglich auch der Matrix {A-aE)\ Daher ist 

 a>a', ß ^ ß', y = y\ ■■■ 



und mithin 



a' = a, S' = ß , 7' = y, • • • , 



also stets a' > , und demnach auch k > 0. Ist /;, der Rang von 

 (A-aEy, so ergibt sich wie oben, daß p^>n-a, ist. Da aber ,£«+,< p„ 

 = n-a ist, so ist p, = f),+i = s,^, = ■■■ =n-a.. Dagegen ist d,_, </?-«. 

 Denn sonst hätte nach Satz VI 



(A-aE)-' {A-bE)' (A- cEy ••• 

 den Rang n-u-ß-y ■■■ = 0, während \KA) = die Gleichung nie- 

 drigsten Grades für A ist. Nach (8.) ist demnach 



(l2.) po>pi>--- >p>.-i>P« = P« + i = -«+2 = •■• =n-a. 



Für die Reduktion von .4 auf die Normalform ist die Gleichung 

 p^ = n-cL von der größten Wichtigkeit. Es ist möglich, daß p^ > n-a. 

 ist, daß also die Gleichung {A-nE)x = weniger als a. unabhängige 

 Lösungen besitzt. Dann gibt es aber einen solchen Exponenten t, daß 

 die Gleichung {A-aEyx = genau a Lösungen hat, und dies tritt 

 stets und nur dann ein, wenn r :> •/. ist. 



§ 3- 

 Der Einfachheit halber nehme ich jetzt an, die Matrix A habe 

 die charakteristische Wurzel 0, cp(s) sei durch s*, %^(s) durch s" ge- 

 nau teilbar, A" habe den Rang p,. Die Gleichung ^ a = hat dann 

 n-c^ = ^ =z p^-p^ unabhängige Lösungen, und genau dieselben hat die 

 Gleichung A'"^^x = oder A'"*'^x = v,-- weil e„ = p.,^^ = p^+sj'"' ist. 

 Diese Lösungen wollen wir in folgender Ai-t wählen : u, u, u", ■ ■ ■ 

 seien Ä„ = p.-i-f, Lösungen der Gleichung A'x = 0, wofür die Spalten 

 A'"^x unabhängig sind; v,v',v".--- seien /v_, = p,_2-p.,_i Lösungen 

 der Gleichung A~^x = 0, wofür die Spalten A''~^x unabhängig sind; 

 ic, w', «?",-•■ seien \_j = p,_3-c„_2 Lösungen der Gleichung A"~^x = 0, 

 wofür die Spalten A''~^x unabhängig sind, usw. So erhält man 

 (13.) X,-|-X,_iH f-Xi = p,-p,. = ö 



Spalten, die alle der Gleichung A'x = ö genügen und unabhängig 

 sind, also ein vollständiges System ihrer Lösungen bilden. Denn ist 



X = all + a' u' + a" u" -i \- l,i- ^ b'v' -i \-cw + c'w' -\ = , 



SO ist 



A'~'x = aA'~^u + a'A'"^u' + a"A''~^u" + ■■■ = 



