Frobenius: Über den Rang einer Matrix. 25 



und mithin 



(4-) PABC — PAB — PBC + Pb ^ PLBN ■ 



Diese Formel umfaßt alle bisher entwickelten Resultate. 



Aus der Gleichung (4.) ergibt sich der Satz von Weyr (S. 17): 

 VI. Sind die ganzen Funktionen f(s) und g{s) teilerfremd^ und ist n- et 



der Rang von f{A)j, und n-ß der von g{A). so ist n~a-ß der Rang 



von f{A}giA). 



Man bestimme die ganzen Funktionen fi{s) und gi(s) so, daß 



f(s)Ms)+9{s)9As) = 1 wird, und setze f{A) = P, fM) = P., 9{A) 



= Q, g,(A) = Q^. Dann ist P,P+QQ, = E. Ferner ist nach (6.) 



pp + Pq — ppq = 'i — pL M , 

 wo L und M vollständige Lösungen der Gleichungen XQ =: und 

 PM = sind. Daher ist 



LM= L(P,P+QQ,) M = LP,{ P3I) + {LQ)Q,M = 0, 



und mithin 



{n-pp} + [n-pq) = n-ppq. 



Sind allgemeiner je zwei der Funktionen /(s) , ^f (s) , Ä(s) , ••• teiler- 

 fremd, und ist n-7 der Rang von h{A), so ist n — 04-^-7- ■•• der 

 Rang Yonf{A)g{Ä)h{A).... 



Da es nicht mehr als n^ unabhängige Matrizen «ten Grades gibt, 

 so besteht zwischen den Potenzen A" , A^ , A^ , ■•■ eine lineare Beziehung. 

 Sei -^{A) = die Gleichung niedrigsten Grades, der A genügt, sei 

 cp(s) = |s^— ^1 die charakteristische Determinante von A, und seien 

 (I ,h , c , ■■■ die Wurzeln der beiden Gleichungen 9(5) = , und \//(s) = ü 

 zusammengenommen. Ist also 



(p(«) = [s-a)''{s~b)'i{s-c)y, ••-, iis) = {s-aY{s-l>Y-{s-cY ■■■ , 



SO sind ci und x nicht beide Null. Daher ist a > Qi. Denn sonst 



wäre jc > und | A -*'/£' | von Null verschieden, und aus der Gleichung 



(A-aEY{A-bEY{A-cEY ■■■ = 



könnte man den Faktor {A-aEY wegheben. 



Ist n-a' der Rang von (A-aEY, n-ß' der von (A-bEY, ■•■ , 

 so ist n — oc' — ß'-y' der des Produktes, und demnach ist 



OL' + ß' + y'+ ■■■ = n, (a-a') + (ß-ß') + (/-/')+ ••• = 0. 



Ist etwa X = , so ist a' = , also a' < 01.. Ist aber k > 0, so 

 verschwinden in der Matrix (A-aEY alle Determinanten (n-l)ten, 

 (^1-2) ten , •■• (n - oc' + \) ten Grades. Für s = verschwindet folglich 



