24 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 12. Januar 1911. 



Bedingungen ist hinreichend, aber nicht notwendig. Daher ist auch 

 nicht die eine eine Folge der anderen. 



Ist A eine vollstcändige Lösung der Gleichung A {BC) = 0, so ist 



Pa + puv^ n, PAJ1 + pjst: =^ Pb 



und mithin 



pA+ Pis = pA/i+ n . 



Umgekehrt seien A und B irgend zwei gegebene Matrizen, die 

 dieser Bedingung genügen. Ist dann C eine vollstcändige Lösung der 

 Gleichung {AB) C=0, so ist Pab + Pst ^ Pm, mithin Pa+ per — n, 

 und folglich ist A eine A-oUständige Lösung der Gleichung A (BC) = 0. 

 So gelangt man zu einer dritten Form des Satzes von Weyr: 



IV. Stets und nu7- dann ist pj + ps = pAn+n- wenn es eine solche 

 Matrix C gibt, daß A eine vollstündiye Lüsunr/ der Gleichung A (BC) =^ 

 ist, oder eine solche Dj, daß B eine vollständige Lösung der Gleichung 

 {])A)B = ist. Allgemein ist 



P.\ + PJ! ^ PAB+n, («-P-i) + («-Pi') E " - Paji- 



Von jenen beiden Bedingungen ist demnach jede eine Folge der 

 anderen. Die Zahl «-p.i nennt Weyr die Nullität der Matrix A. Docli 

 ist es vorzuziehen, mit dem von n unabhängigen Begriffe Rang zu 

 operieren. 



Nun seien wieder A, B, C drei beliebige Matrizen. Eine un- 

 mittelbare Folgerung aus der Relation (3.) ist der Satz: 



V. Ist der Rang von B gleich dem von A B. so ist auch der Rang 

 von B C gleich dem von ABC. 



Zu einer schärferen Einsicht in die Bedeutung der Ungleichheit 

 (3.) führt die folgende Entwicklung. Seien L und iV vollständige Lö- 

 sungen der Gleichungen LBC = und ABN = 0. 



Ist dann U eine vollständige Lösung der Gleichung A{BC)U = 0, 

 so ist Pabc + Pbcl- = Pbc- Da X= CU eine Lösung der Gleichung 

 ABX = ist, so ist CU= NV, also LB{NV) = LB(CU) = {LBC)U 

 = oderi(5iV)V= und mithin Pisy + pBar^Pss, und weil p^yy 



= pBCU =^ PbC~ pABC ist, 



pBC — pABC ^ Pas — pLBy • 



Ist dagegen Feine vollständige Lösung der Gleichung L(BN) V= 0, 

 so ist Plbx + Pb.xv = Pay Da 1'= BNV der Gleichung LY = ge- 

 nügt, und da F= BC eine vollständige Lösung dieser Gleichung ist, 

 so ist BNV= BCUund mithin A(BC)U = 0, also Pabc + Pbcu S ?bc, 

 und weil pBce= Pbxv = Pbx-Plbx ist, 



Pb y — pLBX ^ pBc~ Pasc • 

 Folglich ist 



PllC — PA BC = PBy — PLBy , pAB + pBy = Pb 1 



