Frouenils: über ilen Ixang einer Matrix. 2B 



I. Wenn die Spalte .: die Ijösungen der Gleichimy ABz = durch- 

 läuft^ so stellt Bz genau Pn-pAu linear vnahhämjigc Spalten dar. 



Denn zu den r = n-p^ß unahliängigen Lösungen der Gleichung 

 ^15^ ^ gehören die er = n-pjj Lösungen c', z" , ■■■ z^'^ der Glei- 

 chung Bz = ü. Werden sie durch c*'"*"'', ••■ c*'' y.u einem vollstän- 

 digen System von r Lösungen ergänzt, so sind die t -f^ = pii~pAii 

 Spalten Bz^''^^K ■■■ Bz^"^ unabhängig. Denn ist 



= f.+ i ß.-i'-+')+ ••• +r, BrW = /i((.-, + ,«(' + ')+ ... +.',^W), 

 wo Ci , Co , ••• skalare Faktoren sind, so i.st 



und mithin r, — 0, ... c^ - 0. 



Ist L eine vollständige Lrisung der Gleichung LB =^ , so läßt 

 sich y stet.s und nvu- dann in der Form y = Bz darstellen, wenn 

 Ly =-- ist. Daher ist pn-pAu auch die Anzahl der unabhängigen 

 Lösungen der 2 n Gleichungen Ay = und Ly -~ 0. In dieser Form 

 findet sich der Satz von Weyr in der Arbeit von Kakst, Lineare 

 Funktionen und Gleichungen, Programm (No. 127) der Realschule zu 

 Lichtenberg^ Ostern '1!)0.9 fS. 43). Vm- die Anwendungen ist die folgende 

 Form die bequemste: 



III. Ist ABC =^ Oj so ist -Pajs + pur S Pn- L^t A eine vollständige 

 Lösung der Gleichung A{BC) = 0^ oder ist C eine solche der Gleichung 

 (AB)C =^ 0, so ist 



Pajj + Pill' = Pb • 



Seien zunächst A , B , C drei beliebige Matrizen. Ersetzt man in 

 dem Satze I die Matrix B durch BC , so ist A = P/ic-Pabc die An- 

 zahl der Spalten y',y",--, wofür ABCy ~ ist, und die Si)alten 

 BCy' , BCy" , ■ ■ ■ unabhängig sind. Dann genügen r' = Cy' , z" = Cy" ,■ ■ • 

 der Gleichung ABz = 0, und die A Spalten Bz' = BCy', Bz" = 

 BCy", ■■■ sind unabhängig. Da es aber nicht mehr als pß-pAii solche 

 Spalten c', c", •• • gibt, so ist ^l^pu-pAn oder 



(3-) Pau + Puc ^ Pß + Pabü- 



Diese merkwürdige Relation ist also eine unmittelbare Folge des Satzes 

 von Weyr. Ist speziell ABC = 0, so ist Pab + Pbc S Pb- 



Ist C eine vollständige Lösung der Gleichung {AB)C =^ 0, und 

 ist X eine willkürliche Spalte, so ist r = Cx die allgemeinste Lösung 

 der Gleichung {AB)z = . Unter den Spalten Bz = BCx , d. h. unter 

 den n Spalten der Matrix BC sind aber p^,- linear unabhängig. Nach 

 Satz I ist daher p^-pAB ^= Puc- (Vgl. Formel (5.)). Jede der beiden 

 in dem Satze III für das Bestehen dieser Gleichung ausgesprochenen 



