22 Sitzung der physikaliscli-mathematischen Classe vom 12. Jaiuiar liUl. 



Zwei solche Zerlegungen einer Zahl ^ in positive Summanden 

 habe ich assozüerte genannt, Über die charakteristischen Einheilen der 

 symmetrmhen Gruppe, Sitzungsberichte 1903 S. 342. Sie bestimmen sicli 

 gegenseitig vollständig durch die Bedingungen, daß x, =-- v , K^ = fx ist, 

 und daß die Zahlen y.„ + A^-c^-zS + 1 alle von Null verschieden sind. 

 Zwisciien ilmen besteht die Relation 



(II.) y., + ■iy-. + by.3 + ■ ■ ■ + {2jx-l)x^ = X] + Xl + ■ ■ -kl , 



die bei der Berechnung der Anzahl der linear unabhängigen, mit A 

 vertauschbaren Matrizen eine Rolle spielt (vgl. Hensel, Theorie der Körper 

 von Matrizen, Grelles Journ. Bd. 127 S. 159). Sie ergibt sich aus 

 der allgemeineren evidenten Formel 



F{X,)+ F{X,) + --- +F(X„) = {x,—^,)F{l) + (>c,-y,)F{2)+---+{y^.,-y^)F{,x-\) + y...Fiii 

 = x.^l)+x,(F(2)-i^l))+x3(F(3)-/'i:2)) + ---+x.(%)-F(p-l)) 



Daß in der Tat P«_i - - i, + p«+, die Anzahl der Elenientarteiler .'<'' 

 der Determinante Is^"-^] ist, kann man leicht einsehen, wenn man 

 die Noniiallbrni von Weierstrass, in die sich A durch kontragrediente 

 Substitutionen transformieren läßt, als bekannt A'oraussetzt. Der Beweis 

 wird aber durclisichtiger, wenn man die Normalfonn auf dem Wege von 

 Weye entwickelt. Daher will ich hier diese Herleitung in einer mög- 

 lichst einfiichen imd deutlichen Form wiedergeben. 



Ist AB =^ 0, ist p der Rang von A, und er der von B, so ist 

 p + <T<n. Ist A gegeben, so kann man B so bestimmen, daß p + cr = ?z 

 wird. Dann heißt F= B eine vollständige Lösung der Gleichung A F = 0, 

 und w-enn V eine willküiiiche Matrix ist, so ist Y = BV ihre allge- 

 meinste Lösung. Zugleich ist X = A eine vollständige Lösung der 

 Gleichung XB — und X = UA ihre allgemeinste Lösung. 



Ich bezeichne mit (x) oder x eine (nicht quadratische) Matrix von 

 n Zeilen und nur einer Spalte, worin n Größen x, , a-, , • • • .r„ unterein- 

 ander stehen ; ich nenne sie eine einspaltige Matrix oder kurz eine Spalte. 

 Z. B. ist y — Ax der symbolische Ausdruck für das System der n li- 

 nearen Formen 



Vi = (In ^1 + 012 a-2+ ••■ +«,„ x„, 

 yo = ^21 ^i+W22 ^2+ ••• +«a„ *•», 



y„ = o,„ Xi + a„i Xa + • • • + ff„„ x„ . 



Ist B eine vollständige Lösung der Gleichung AB — 0, und ist 

 X eine willkürliche Spalte, so ist y = Bx die allgemeinste Lösung 

 der Gleicliung Ay = 0. 



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