Froüenius: Über den Rang einer jNIatrix. 21 



worin L und M vollständige Lösungen der Gleichungen AM = Q und 

 LB ~ sind, oder in mehr symmetrischer Form 



(7.) PA-P.IB = PZ-PZM, PB-pAJi =^ p.U- PlM- 



Sei A eine Matrix von verschwindender Determinante, und p„ der 

 Rang von A". Ersetzt man nun A,B,C in (3.) durch A,A'~\ A, 

 so erhält man die Ungleicliheit 



(8.) p«_,-2p. + p„+, > 0. 



Es sind also nicht nur die ersten, sondern auch die zweiten Dif- 

 ferenzen der Rangzahlen po(= n) , p^, p^, ■■■ positiv. Ein besonderes In- 

 teresse gewinnt diese Beziehung dadurch, daß ihre linke Seite die An- 

 zahl der Elementarteiler der Determinante |s^-^[ ist, die gleich s" 

 sind (vgl. Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Dijferential- 

 (/leichungen Bd. I S. 127). Daher gilt der Satz: 



II. Die Anzahl der Elementarieiler der Determinante \sE-A\j die 

 gleich s" sind^ ist gleich dem Range der Matrix PJ.''~'Q^ falls P und Q 

 vollständige Lösungen der Gleichungen PA' = und A*Q = bedeuten. 



Insbesondere ist die Anzahl ihrer für s = verschwindenden 

 linearen Elementarteiler gleich dem Range der Matrix PQ, wo P und 

 Q A ollständige Lösungen der Gleichungen PA = und AQ = sind. 

 Diesen Satz hat schon Stickelberger gefunden, und seinen Beweis 

 habe ich in meiner Arbeit Über die prinzipale Transformation der Theta- 

 funktionen mehrerer Variabein, Grelles Journ. Bd. 95 S. 267 wieder- 

 gegeben. 



Setzt man 

 (9-) P»_i-p„ = X., 



so ist 



X, ^Xs ^ •■• ^ X„ > 0, 



und A^ — A^+, ist die Anzahl der Elementarteiler von |s^-^|, die 

 gleich s" sind, demnach A^ die Anzahl derjenigen, deren Exponent 

 ^x ist. Enthält der größte gemeinsame Teiler der Unterdeterminanten 

 des Grades n-A von |s^-^| den Faktor s in der Potenz ^^, und 

 setzt man 



(10.) <5x-i-*x = x,. 



so sind 



!«1 ^ >£ä ^ • • ■ ^ X„ > , 



die invarianten Exponenten jener Elementarteiler, und 



a' = xi + K2 H h K^ = Xi + Xa H + X„ 



ist der Exponent der in |s£'-A| enthaltenen Potenz von s. Dann ist 

 auch jc^ die Anzahl der Rangdifferenzen A,,Aj,--A„, die >A sind, 

 also Xi = V. 



