20 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 12. Januar 1911. 



Über den Rang einer Matrix 



Von G. Frobenius. 



J_/ie Reduktion einer Schar von bilinearen Formen auf die Normal- 

 form von Weiersteass hat Eduard Weyr in seiner Abhandlung Zvr 

 Theorie der bilinearen Formen^ Monatsberichte für Mathematik und Physik^ 

 1. Jahrgang, mit Hilfe der Matrizenrechnung ausgeführt. Die invarianten 

 Zahlen, von denen die Normalform abhängt, hat er, ebenso wie Weier- 

 STRASS, aber auf einem ganz anderen Wege, direkt definiert, nicht, wie 

 Camille Jordan oder Stickelbergee, ihre Bedeutung aus der Normal- 

 form nachträglich abgelesen. 



Die Grundlage seiner Arbeit bildet außer der Formel von Sylvester 



( I •) PAB ^ PA , PAß ^ pU 



die Beziehung 



(2.) Pa + Pu ? 11 + pab, 



worin p,, den Rang der Matrix 7iten Grades A bezeichnet. Beide Formeln 

 sind enthalten in der Ungleichheit 



(SO Pab + psc ^ Pb + Pabc, 



die sich, ebenso wie (2.), ohne weiteres aus dem Satze von Weyr 

 (S. 15) ergibt: 



I. Wenn die Spalte z die Lösumjen der Gleichung ABz = durch- 

 läuftj so stellt Bz genau pn — pAB linear unabhängige Spalten dar. 



Die neue Ungleichheit (3.) kann auf die schärfere Form 



(4-) PABC-PAB — PBC + Pb = Plbx (LB C = ÄBJV = 0) 



gebracht werden, worin L und N vollständige Lösungen der Glei- 

 chungen LBC = vmd ABN = sind. Setzt man darin A = 0, 

 N = E oder C = 0, L ~ E, so erhält man 



(5-) PB — pBC^=PLB, PB — PAB^=PBN- 



Ersetzt man aber A,B,C durch A,E,B, so findet man 



(6.) Pa + pB-pAB — n-pLM {AM=LBz=zQt), 



