128 Sitzung der pliysikalisch-matliematischen Classe vom "2. Februar 1911. 



Über den Rang einer Matrix. IL 



Von G. Frobenius. 



§5- 

 Will man die Normalform B einer bilinearen Form A untersuchen, 

 ohne auf die WEiERSXRASSsche Definition der Elementarteiler zurück- 

 zugehen, so muß man die früheren Entwicklungen noch durch fol- 

 gende Bemerkungen ergänzen. 



Wenn die Matrix «ten Grades 



lA' 



l A'\ 



in die V)eiden Matrizen Ä und A" der Grade n und n" voUständi.<j zer- 

 fällt, s^o ist 



M'" 



und mithin in leicht verständlicher Bezeichnung 



p- = p;; + p" , Xx = X'« + X" , d = ö' + ö" . 



Den Zerlegungen 



ö' = x; + ^2 + ■ • • , 6" — \[' + x'i + • • • 



seien assoziiert die Zerlegungen 



ö' = ;<i' + xi + . • . , 6" + X," + -^'^+ ... . 



Unter den f/' Zahlen -/.[jx'^,-.. befinden sich daher A'^, die >k sind, 

 und unter den ß" Zahlen x," , x'/ , ... befinden sich A" solche Zahlen. 

 Unter den |u' + fx" Zahlen •/.[ , y.'^ , ■ ■ ■ y." , y,'^ , ■ ■ . gibt es folglich ä'^ + X'^ 

 = A, , die > y. sind. Demnach ist der Zerlegung 



a = Xi + X2+ ••• + x, 



assoziiert die Zerlegung 



worin die Summanden noch nicht der Größe nach geordnet sind. Die 

 für ."? — verschwindenden Elementarteiler von l^l-s^"! haben daher 

 die Exponenten y[, y',, ■■■ y" , y'.^ , ■ . ■ , d. h. es sind die Elementarteiler 



von |yl'-.s£"| und \A"-.^£"\ zusammengenommen. 



