L. Bieberbach: Über den JonoAN'schen Satz. 231 



Über einen Satz des Hrn. C. Jordan in der Theorie 

 der endlichen Gruppen linearer Substitutionen. 



Von Dr. Ludwig Bieberbach 



in Königsberg i. Pr. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius in der Sitzung der pliys.-matli. Classe 

 am 16. Februar 1911 [s. oben S. 1711) 



In zwei im CRELLESchen Journal (1878) und den Atti di Napoli (187g) 

 erschienenen Abhandlungen hat Herr C. Jordan den folgenden Satz avif- 

 gestellt und bewie.sen: 



Jede endliche Gruppe in n homogenen Variahehi besitzt eine ausge- 

 zeichnete ÄBELsche Untergruppe derart^ daß der Index derselben, d. h. der 

 Quotient der Ordnung der Gruppe dividiert durch die Ordnung der 

 Untergruppe eine nur von der Zahl n abhängige Grenze nicht i'iJier schreitet. 



Weiterhin hat Hr. Blichfeldt in zwei in den Transaction.s of the 

 American mathematical society 1904 und 1905 erschienenen Abhand- 

 lungen einen neuen Beweis des genannten Satzes geliefert. 



Im folgenden möchte ich einen dritten Beweis des JoRDANSchen 

 Theorems mitteilen. Derselbe geht von der bekannten Tatsache aus, 

 daß jede endliche Gruppe eine positive HERMixESche Form invariant 

 läßt und beruht in letzter Instanz auf elementaren Abschätzungen. 

 Im § I gebe ich zunächst einige Sätze über die Transformation von 

 Gruppen, die ein und dieselbe HERMiTESche Form invariant lassen, in- 

 einander. Unter Benutzung dieser Sätze wird dann im § 2 mit Hilfe 

 einer Methode, die in der Theorie der ««endlichen Gruppen vielfach 

 Verwendung gefunden hat, eine ausgezeichnete AßELSche Untergruppe 

 konstruiert, der jedenfalls alle die Operationen angehören, deren cha- 

 rakteristische Gleichungen lauter Wurzebi mit hinreichend wenig von 

 Null verschiedenen Argumenten besitzen. Im § 3 wird dann gezeigt, 

 daß der Index dieser ausgezeichneten Untergruppe eine nur von n 

 abhängige Schranke nicht übersteigt. 



Der Beweis liefert zugleich eine explizite Angabe einer oberen 

 Grenze für diesen Index, die allerdings viel zu hoch ist. Ich habe 

 auch keinen Wert darauf gelegt, alle Abschätzungen so scharf durch- 

 zuführen, als es möglich gewesen wäre. Es lag mir nur daran, den 

 Beweisgang auseinanderzusetzen. 



23* 



