232 Gesammtsitzung v. 23. Febr. 1911. — Mitth. d. phys.-math. Cl. v. 16. Febr. 



§ I- 

 Einige Hilfssätze. 



Bekanntlich läßt jede endliche Gruppe homogener linearer Su))- 

 stitutionen in n Variabein eine positive ÜERMiTESche Form dieser 

 n Variabein von nicht verschwindender Determinante invnriant. Da 

 man diese durch eine lineare Transformation in die HEEMiTESche Haupt- 

 form H =^ ^' x,Xi (a', konjugiert imaginär zu X;) überführen kann, so 



i 

 dürfen w^ir immer annehmen, daß unsere Gruppen gerade diese Form 

 festlassen. Das soll in dieser Arbeit immer geschehen. Dies ist wesent- 

 lich für das Gelingen unseres Beweises, da hierbei die Relationen, 

 die in diesem Falle zwischen den Koeffizienten einer Substitution be- 

 stehen, und die einfache Form, die infolgedessen die inverse einer 

 gegebenen Substitution annimmt, benutzt werden. Wenn nämlich die 

 Substitution 



A = 



(".4 



die Form H in sich überführen soll, so müssen die folgenden beiden 

 Reihen von Relationen bestehen, die gegenseitig aus einander folgen: 



' (i=l...n) 



\k = \.:n) 



2. ^^ ß/,«a« = II, ^. a,ha,i = 0. 



(/(.,/= l...n, Ä50 (l,h = \--n, h>l) 



Infolgedessen hat die inverse Substitution die folgende Form: 



«„, 



Man nennt solche Substitutionen unitär. Wesentlich die Relationen 

 I. werden wir später zu benutzen habeji. Zunächst müssen wir uns 

 aber noch etwas näher an die Transformation der HEEMiTESchen Form, 

 von der wir ausgingen, in die Hauptform, erinnern, um daraus einen 

 Hilfssatz herzuleiten. Man kann nämlich zunächst mit Hilfe einer 

 unitären Sul>stitution die HermitescIic Form auf die folgende Gestalt 

 bringen, wo die /i', reelle positive Zahlen sind: 



