L. Biebeehach : Über den JoRDAN'schcn Satz. 



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Ist das geschehen, so kann man von hier durcli eine nicht unitäre 

 Mnltiplikation in leicht ersichtlicher Weise zu H übergehen. Hieraus 

 kann man mühelos den folgenden Satz ablesen: 



I. Jede lineare Substitution S (nicht verschAvindender Determinante) 

 kann in folgender Form geschrieben werden 



Dabei sind CT, und L\ unitäre Substitutionen. M ist eine Substitution, 

 in der nur die Diagonalglieder von Null verschieden, reell und posi- 

 tiv sind. 



Der Beweis folgt so unmittelbar aus den vorigen Bemerkungen, 

 wenn man H zunächst durch S in eine HERMixEsche Form überführt 

 und von dieser auf die angegebene Weise zu H zurückgeht, daß wohl 

 darüber kein Wort weiter zu verlieren ist. 



Aus Satz I folgt aber sofort der folgende — und den brauchen 

 wir später: 



n. Wenn zicei Gruppen Gj und G^^ die H invariant lassen^ überhaupt 

 durch eine Substitution S ineinander iibergeführt loerden könnerij, so können 

 sie auch durch eine Substitution Uj die gleichfalls H festläßtj ineinander über- 

 geführt werden^ derart^ daß U immer dieselben beiden Substitutionen inein- 

 ander iiberführtj die S ineinander überführt. 



Man übersieht sofort, daß man zum Beweis nur zu zeigen hat, 

 daß eine Multiplikation B'I mit positiven Koeffizienten, die eine unitäre 

 Substitution wieder in eine unitäre Substitution überführt, notwendig 

 mit derselben vertauschbar sein muß. Dann kann man U = C/, TJ^ 

 setzen und Satz II ist bewiesen. 



Daß aber die eben anfgestellte Behauptung richtig ist, kann man 

 so einsehen. 



Sei • 



die Multiplikation und 



A = (a.,) 



eine unitäre Matrix derart, daß MA3I~^ unitär ist. Ohne Beschränkung 

 der Allgemeinheit düi-fen wir annehmen, daß A nicht diese Form besitzt: 







