234 Gesammtsitzung v. 23. Febr. 1911. — Mitth. d. phj's.-math. Cl. v. 16. Febr. 



WO Av. eine unitäre Matrix von v, Zeilen ist. Denn sonst könnten wir 

 eben jeden Bestandteil für sich behandeln. 



Unter diesen Voraussetzungen ist nun zu zeigen, daß die in, alle 

 einander gleich sein müssen. Dann bilden wir uns MAM'\ Es ist 





Nun ist aber 



•■ a,v(. a.i = > ; — j a,k a^ . 



Wir wollen nun annehmen, es seien nicht alle w, einander gleich und 

 daraus einen Widerspruch ableiten. Wir düi-fen dann ruhig annehmen, 

 daß m, das größte ndei- eines der größten sei. Wir bilden die ehen 

 angeschriebene Relation tur k=\. Diese können wir so schreiben: 



'^i" [7n] — ni',) a,i a,i = 0. 



Daraus folgt sofort, daß jedesmal, wenn in der ersten Kolonne der 

 Matrix von A ein o,-i von Null verschieden ist, für dieses / iii; = //i^ 

 sein muß. Es muß dies für mindestens ein w?, zutreffen, da sonst 

 sofort aus dem unitären Charakter von A folgen würde, daß es die 

 Form hätte, die es nach Voraussetzung niclit haben soll. Somit dürfen 

 wir nun annehmen, daß einige m,- einander gleich sind. Ohne Be- 

 schränkung der Allgemeinheit dürfen wir natürlicli annehmen, daß dies 

 die ersten v, und nur diese sind, auf deren Gleiehheit wir beim ersten 

 Schritt schließen können. Dann sind also 



(7,,+ l,l :=^ «,.+ 2,1 ••• ^ a„,i ^ 'I. 



Nun l)ilden wir dieselbe Relation, di<' wir eben für /r = 1 betrachteten, 

 für k =^ 2,'.'y ■■■ V. Dabei muß nun notwendig für mindestens ein wei- 

 teres )/);, etwa w?„+,, geschlossen werden können, daß es ni^ gleich ist. 

 Denn andernfalls müßten in den v ersten Kolonnen alle Koeffizienten 

 vom {v + l)ten ab verschwinden, und daraus würde wieder folgen, daß 

 A eine Gestalt hat, die es nach Voraussetzung nicht haben soll. So 

 kann man weiter schließen und erhält schließlich den Beweis des Satzes. 

 Diese Entwicklungen können auch aus der Arbeit des Hrn. Fro- 

 BENiüs »Über die kogredienten Transformationen der bilinearen For- 

 men«, Sitzungsber. 1896, § 3, S. 15, abgelesen werden. Dort wird ge- 

 zeigt, daß irgend 2 unitäre (es ist dort von orthogonalen Substitu- 

 tionen die Rede; aber die Betrachtungen übertragen sich sofort auf 

 unitäre) Substitutionen, die durch eine Substitution in einander über- 

 geführt werden, auch durch eine unitäre aus einander hervorgehen, die, 



