L. BiEJiERBACii: Über den .loiiOAN'sclien Satz. 235 



und darauf kommt es an, von der speziellen transformierten Substitu- 

 tion nicht abhängt. 



Folgerumj 1. Nehmen wir einmal an, es sei uns eine endliche 

 AsELSche Gruppe unitärer Substitutionen vorgelegt. Dann können wir 

 sie bekanntlich so transformieren, daß alle Operationen der Gruppe 

 von der Normalform sind, d. h. nur in der Diagonale von Null ver- 

 schiedene Koeffizienten besitzen. Da aber derartige Substitutionen selbst 

 unitär sind — alle Diagonalelemente sind ja Einheitswurzeln — , so 

 folgt sofort, daß wir die Transformation durch eine unitäre Substitu- 

 tion vollziehen können. Daraus folgt, daß wir immer annehmen dürfen, 

 daß die Operationen einer in einer unitären Gruppe enthaltenen Abel- 

 schen Gruppe von der Normalform sind. Hiervon haben wir im niichsten 

 Paragraiihen Gel)rauch zu machen. 



Folijeruiig 2. Es war eben davon die Rede, auf welche Form 

 zwei vertauschbare Operationen immer gebracht werden können. Nun 

 müssen wir uns an die Form erinnern, die zwei vertauschbare Opera- 

 tionen A ixnd B notwendig immer besitzen. Für unsere Zwecke ge- 

 nügt es, die eine der beiden, etwa A, in der Normalform anzunehmen. 

 Daliei mögen die v, ersten Multiplikatoren von A einander gleich und 

 von allen anderen verscliieden sein. Ebenso die v^ folgenden einan- 

 der gleich mid von allen anderen verschieden usw. Dann ist B not- 

 wendig, wie l)ekannt, eine Substitution, die sich in leicht ersichtlicher 

 Weise aus quadratischen Matrizen von v^ Zeilen, v^ Zeilen usw. zusam- 

 mensetzt. Wenn aber nun eine Operation G zwar A nicht in sich 

 sell)st transformiert, wohl aber in eine andere Substitution überführt, 

 die selbst von der Normalform ist, was kann man dann über C aus- 

 sagen? Ich behaupte, dann micß in der Biaijonalen von C notirendiy min- 

 desten» ein Koeffizient rersckwinden. Denn C entsteht aus einer Opera- 

 tion von der Art B durch Multiplikation mit einer Permutation der 

 Variabein, die ja bekanntlich zu den unitären Substitutionen gehören. 

 Da aber diese Permutation nach Voraussetzung nicht lediglich die f, 

 ersten Variabein unter sich, die i., folgenden unter sich usw. vertau- 

 schen soll, so folgt daraus ohne weiteres die Behauptung. 



■5 2. 

 Konstruktion der ausgezeichneten AßELSchen Untergruppe. 



An die Spitze stelle ich den folgenden Satz: 



III. Wenn die Koeffizienten zweier Substitutionen einer endlichen Gruppe 



unitärer Substitutionen dem absoluten Betrage nach um weniger als ,u = \~^\ 



von den. entsprechenden Koeffizienten der identischen Substitution abweichen, 

 so sind die beiden notwendig miteinander rertauschbar. 



