L. BiEBERBArn: Über den JoRDAN'scheii -Satz. 237 



ist, muß die Identität nach endlich vielen Schritten erreicht werden. 

 Sei etwa ^ die erste Substitution, die der Identität gleich ist. Dann 

 folgt daraus, daß A,,_i und A^ miteinander vertauschbar sind. Wir 

 dürfen also nach Folgerung i des § i annehmen, daß beide von der 

 Normalform sind. Es ist also 



1 = .4/, = J,-4/,.,.47Mj!, oder .4,,_, = .4,^.,^;' . 



Daraus wollen wir nun schließen, daß auch A, und A^ mitein- 

 ander vertauschbar sind, eben unter Benutzung der Kleinheit der 

 Koeffizienten der Substitutionen. Es war nämlicli weiter 



oder 



A,_, = AA,_,A-'A-,1, 

 A-'A,,_, = A,^,A^',{^[, 



Da aber .4,,_, und ^4; beide von der Normalform sind, so ist auch 

 ^7M/,_i von der Normalform. Also transformiert Ai,_„ eine Substitu- 

 tion von der Normalform wieder in eine Substitution von der Normal- 

 form. Wenn diese von der ersten verschieden ist, so muß nach Fol- 

 gerung 2 im § I mindestens ein Koeffizient in der Diagonalen von 

 ^4,,_2 Null sein. Da aber aUe diese Koeffizienten in der Diagonalen 

 um weniger als pt«-, also um weniger als 1 von 1 abweichen, so ist 

 dies nicht möglich. (Die Substitutionen, die wir jetzt nach der Trans- 

 formation von A^ und ^4,,_i auf die Normalform vorfinden, gehen näm- 

 lich aus Substitutionen, deren Koeffizienten um weniger als jj. von den 

 entsprechenden der identischen Substitution abweichen, durch eben 

 diese Transformation hervor, und deshalb weichen die genannten 

 Koeffizienten um weniger als ij.)/" von 1 ab.) Also muß ^7' = A~^ A,,^^ 

 sein. Daraus folgt aber, daß A/^_i = 1. Also war A/, nicht, wie wir 

 voraussetzten, die erste der Identität gleiche Substitution. So sind 

 wir auf einen Widerspruch gekommen, der sich nur dann hebt, wenn 

 die erste der Identität gleiche Substitution ^3 ist, denn dann nur 

 können wir die eben eingehaltene Schlußweise nicht wiederholen. 

 Wenn al)er ^3 = 1, so sind A^ und A„ Aertauschbar, wie wir beweisen 

 wollten. 



Hilfssatz: Seien e'''^'" (A = I ••• n) die Wurzeln der charakteristischen 

 Gleichung einer unitären Substitution von endlicher Ordnung. Wenn dann 



für alle h | sin S-, 2- | < -^ , < S'a < + ^ > dann sind sämtliche Koeffi- 



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zienten der Substitution dem absoluten Betrage nach um weniger als die 

 Zahl fA. von Satz III oon den entsprechenden Koeffizienten der identischen 

 Substitution oerschieden. 



Um diesen Satz zu beweisen, ist es zweckmäßig, Reelles und 

 Imaginäres zu trennen; wir erhalten dann eine reelle orthogonale Sub- 



