238 Gesanimtsitzung v. 23. Febr. 1911. — Mitth. d. phys.-math. Cl. v. 16. Febr. 



stitution, deren Koefifizienten die reellen und imai^inüren Bestand- 

 teile der Koeffizienten der nnitären Substitution sind. Wenn wir 

 also wissen, daß die Koeffizienten einer derartigen orthogonalen Sub- 

 stitution dem absoluten Betrage nach um weniger als ^ von den Ko- 

 effizienten der identischen Substitution abweichen, so sind die Ko- 

 effizienten der ursprünglichen unitären Substitution dem absoluten Be- 

 trage nach um weniger als ij. von den Koeffizienten der identischen 

 Substitution verschieden. 



Man sieht nun aber sofort ein, daß der obige Satz bewiesen ist, 

 wenn wir folgendes gezeigt haben: nämlich, daß für alle orthogonalen 

 Substitutionen A in 2n Variabein in der Operation 



B=:A\A-', ^ = («*), 



A, ... 



wo A = 



A„ 



und A, ^ 



cos : 

 sin ; 



,2^ 



277 



■sm^^.2/1 

 cosb 2? 



die sämtlichen Koeflizienten um weniger als - von denjenigen der 



identischen Substitution abweichen, wofern für alle 3-; die Bedingung 

 des Hilfssatzes l)esteht. Wir wollen das zunächst für A beweisen und 

 dann allgemein. 



l-(l-cosS-,27r 



Da 



-i<^--i 



und 1 - cos S-, 27r < I sin S-, 27r | 

 so ist die Behauptung ffir A 



cos S-,277 == 



<— ^ , wofern nur 

 32» 



evident. 



Um sie nun allgemein zu beweisen, schließen wir ganz wie schon 

 früher bei ähidicher Gelegenheit. Die Differenzen zwischen den Ko- 

 effizienten der identischen Substitution und den Koeffizienten von B 

 sind ganze rationale Funktionen der «,v, und ä,^. sowie der sin 3-, 2- und 

 l-cosS-,27r, wobei aber in jedem Glied der ganzen rationalen Funktion 

 mindestens einer der beiden letztgenannten Ausdrücke vorkommt, weil 

 durch Nullsetzen derselben die ganzen rationalen Funktionen ver- 

 schwinden. Jede dieser rationaleii Funktionen hat al)er höchstens 16« 



Glieder. Also ist jede dem absoluten Betrag nach kleiner als _^ , und 



damit ist der Hilfssatz bewiesen. 



Folgerung i. Fassen wir nun alle Operationen A^^A„--- der Gruppe 

 ins Auge, für deren sämtliche charakteristischen Wurzeln die Bedin- 

 gung des Hilfssatzes besteht. Dann enthält ersichtlich das System 

 dieser Operationen zu jeder Oj^eration, die darin vorkommt, auch alle 



