L. Bieberbach: Über den JoRDxN'schen Satz. 2B'.' 



in unserer Gruppe damit konjugierten Substitutionen. Nach Satz III 

 sind aber mit Rücksicht auf den Hilfssatz alle Operationen des Systems 

 miteinander vertauschbar. Daraus fohjt, daß die GruppCj die sich durch 

 beliebige ZusammensetzuiHj der A^ untereinander erzeugen läßtj eine AuELSche 

 undj rcie aus der fetzten Betnerkung folgt, ausgezeichnete Untergruppe un- 

 serer endlichen Gruppe ist. 



Diese Gruppe ist es, deren Index, wie wir im nächsten Para- 

 graphen zeigen werden, eine nur von n abhängende Schranke nicht 

 übersteigt. Bevor wir jedoch dazu übergehen, müssen wir zunächst 

 noch eine zweite Folgerung über diese ÄBELSche Gruppe ziehen. 



Folgerung 2. Ich behaupte nämlich: In dieser AsELScIien Gruppe 

 sind insbesondere alle die wiitären Substitutionen enthalten, deren sämtliche 



Koeffizienten um n-eniger als — '-"s ''^^^ denjenigen der identischen abweiche//. 



Wir betrachten zum Beweis die dieser unitären entsprechende ortho- 

 gonale Substitution, deren Koeffizienten also auch um weniger als 



--V von deiiienigen der Identität abweichen. Wir brauchen dann 

 nur zu zeigen, daß die sämtlichen Transformierten einer solchen Sub- 

 stitution Koeffizienten besitzen, die um w^eniger als — ^ von den- 



^ 32?« 



jenigen der identischen Substitution abweichen. Denn unter diesen 

 Koeffizienten sind ja auch die sin &,2Tr enthalten, und dann folgt un- 

 sere Behauptung nach der Schlußweise der ersten Folgerung. Um aber 

 dies zu beweisen, brauchen wir nur einfach die Schlußweise, die zu 

 unserem Hilfssatze führte, zu wiederholen. Die Zahl der in den ra- 

 tionalen Funktionen vorkommenden Glieder ist nämlich jetzt -^32/r'. 



§ 3- 

 Der Index der ausgezeichneten AsELSchen Untergruppe. 



Um zu beweisen, daß der Index unserer ausgezeichneten Unter- 

 gruppe eine nur von n abhängige Schranke nicht übersteigen kann, 

 verfahren wir folgendermaßen. Wir fassen das System aller derjenigen 

 Operationen A,,A.,-- der AnELSchen Untergruppe ins Auge, deren sämt- 

 liche Koeffizienten imi weniger als - -^ - von denjenigen der Identität 



abweichen. Anderseits bilden wir uns ein System von Operationen 

 B,,B- der Gesamtgruppe (nicht der AßELSchen) derart, daß keine 

 zwei der 5, durch Multiplikation mit einem A^ aus einander hervor- 

 gehen. Ich werde dann beweisen, daß die Anzahl der Operationen 5, 

 eines solchen Systems kleiner ist als A(«) = {1 -f 32'«'")'"'. Damit ist 

 aber dann zugleich bewiesen, daß auch der Index der AnELSchen Unter- 



