240 Gesanimtsitzung v. 23. Febr. 1911. — Mittli. d. phys.-math. Cl. v. 16. Febr. 



gruppe kleiner ist als diese Zahl A(y/). Denn der Index der Untergruppe 

 ist doch die Maximalzahl von Operationen, die ein System enthalten 

 kann, wenn keine zwei derselben durch Multiplikation mit einer Opera- 

 tion der Untergruppe aus einander liervorgehen sollen. Die A, gehören 

 aber der Untergruppe an. 



Wir gehen also jetzt zu dem in Aussicht gestellten Beweis über. 

 Um mich kürzer ausdrücken zu können, will ich 2 Substitutionen, die 

 durch Multiplikation mit einem ^4, (dessen Koeffizienten also um weni- 

 ger als . -^— f von denjenigen der Identität abweichen) benachbart nennen. 



Dann gilt zunächst der folgende Satz: 



Wenn in 2 Substitutionen entsprechende Koeffizienten dem absoluten 



Betrag nach um 'weniger als — ^ voneinander abweichen, so sind sie 



benachbart. Das kann, wie wohl ohne weiteres einleuchtet, ganz nach 

 unserer oft angewandten Schluß weise gezeigt werden. 



Wir fragen also nun, wieviel Substitutionen ein System höchstens 

 enthalten kann, wenn keine 2 Operationen darin vorkommen sollen, 



in welchen entsprechende Koeffizienten um weniger als .^ ^ vonein- 

 ander abweichen, d. h. in welchen die absoluten Beträge der Diffe- 

 renzen entsprechender Koeffizienten kleiner sind als diese Zahl. 



Dazu bemerke ich zunächst folgendes. Nach den Relationen des § i 

 ist die Quadratsumme der absoluten Beträge in einer jeden Zeile gleich 1. 

 Somit sind die Koeffizienten komplexe Zahlen vom absoluten Betrag ^ 1 . 

 Wir haben also nur festzustellen, wieviel verschiedene Punkte wir im 

 Einheitskreis oder auf seiner Peripherie wählen können, wenn keine 



zwei der Punkte um weniger als ~~ von einander entfernt sein sollen. 



(32^M* \2 

 hl. Wenn man 

 2f^ / 



diese Überlegung für alle Koeffizienten anstellt, so ist die Maximal- 

 zahl von Operationen, die ein System nicht benachbarter enthalten kann, 

 offenbar kleiner als l'"^ Damit ist aber dann auch bewiesen: 



Der Index der ausgezeklmeten ÄBELschen Untergruppe ist kleiner ah 

 v"= = A(n) = (1 -f .32^«">f "l 



