Frobenius: Über den JoROAN'schen Satz. 241 



Über den von L. Bieberbach gefundenen Beweis 

 eines Satzes von C. Jordan. 



Von G. Frobenius. 



•Jede endliche Grvppe von Matrizeit nten Grades besitzt eine Icommutatire 

 invariante TJntei'gruppe^ deren Index eine gewisse nur von n abhängige 

 Grenze nicht überschreitet. 



Für diesen Satz hat Hr. Bieberbach hier einen Beweis entwickelt, 

 der die beiden bisher bekannten Beweise der HH. Jordan und Blich- 

 lELDT an Einfachheit weit übertrifft, wenn aucli der letztere für die 

 wirkliche Bestimmung der Gruppen des Grades // mehr leistet. Dieser 

 neue Beweis läßt sich, ohne an seinem Gedankengange etwas wesent- 

 liches zu ändern, formal merklich vereinfachen. 



Daß nämlich die Koeffizienten einer Matrix R kleine Werte 

 liaben, drücke ich dadurch aus, daß die Summe S- ihrer n^ Normen 

 unter einer gewissen Grenze a liegt, während Hr. BrEBERBACH dies von 

 dem absoluten Betrage v\ des größten Koeffizienten aussagt. Die Größe S^ 

 nun bleibt ungeändert, wenn R diu-ch zwei uniiäre Substitutionen TJ , Y 

 transformiert, also durch TJ RV ersetzt wird, während v] keinerlei In- 

 varianteneigenscliaft besitzt. Jene zuerst von Hrn. J. Schur in seiner 

 Arbeit Über die charakteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit 

 einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen. Math. Annaleii 

 Bd. 6' 6' benutzte Größe S- ist daher weit bequemer als v\ zu verwenden, 

 und zugleich gewinnt die ganze Untersuchung auf diese Weise an 

 Anschaulielikeit. Um den scharfsinnigen Beweis des Hrn. Bieberbach 

 leichter zugänglich zu machen, will ich meine Vereinfachung seiner 

 P>ntwicklung kurz darlegen. 



§ I- 

 Die Substitutionen einer endlichen Gruppe @ lassen eine positive 

 HERMiTESche Form ungeändert. Transformiert man diese durch zwei 

 konjugiert komplexe Substitutionen in die Hauptform E, so werden 

 jene unitär, genügen also den Bedingungen 



(I.) ui:' = E, ü'u = E, ü' = u-\ 



