Frobf.nius: Über den JoRDAN'schen Satz. 24)"! 



(l Q = E erfüllt werden (Schur, § i). Bewegen sich : und c von 2 

 bis n, so ist dann in der Form Q'AQ — C 



Da ferner C eine unitäre Form ist, so ist 



1 = 2 l-'xl fi«l = "O, = ^ C„, C„^ := rtC, -. 



Daher zerfällt die Form 



vollständig in zAvei Formen, die beide unitär sind. Nimmt man von 

 der zweiten, die nur n - 1 Variabeinpaare enthält, die Behauptung be- 

 reits als bewiesen an, so gilt sie auch von A. 



Man kann dabei die charakteristischen Wurzeln «, , r/, , •• ■ a„ in 

 einer solchen Reihenfolge wählen, daß L — aE^ + /lE^ + cE.^ + ■ ■■ wird, 

 worin a ,h , c , ■■■ verschieden sind, und 



El — Xit/i + •■• +x,.yr, En, = x,. + iyr + i + ■■• +a;, + ,»/, + ,, ••• 



ist. Ist nun B eine mit A vertauschbare unitäro Form, so ist auch 

 p-'AP = L mit P~'BP = 31 vertauschbar, und mithin ist die Form 

 ilf = jB, + .62'+ ^3 + ■■■ > worin B^ nur von den ersten r Variabein- 

 paaren abhängt, B^ nur von den folgenden .^ usw. Sei Q, eine unitäre 

 Substitution für x^ , ■ ■■ x^, die jB, in die Normalform ti-ansformiert usw. 

 Dann transformiert Q = Q, + Q2 + Qs + •• • die Form M in die Nor- 

 malform. Ferner transformiert Q, die Form aE^ , Q^ die Form bE„, ■■■, 

 mithin Q die Form L in sich selbst. Die unitäre Substitution PQ = U 

 transformiert also die beiden miteinander vertauschbaren unitären For- 

 men A und B gleichzeitig in die Normalformen 



i'-'Ai'= 'Sat.X;,rj,., i~'Bi — '^ /)yX,,y^. 



§ 2. 



I. Sei C = ABA~^B~'^ der Kommutator der beiden unitären For- 

 men A und B^ und sei B-{E-B) < i. Ist dann A mit C r er tauschbar, 

 so ist auch A mit B rertauschbar, also C = E. 



Ist A mit C = A{BAB~^f\ also auch mit -Bi45"' vertauschbar, 

 so kann man A und B durch dieselbe unitäre Substitution U so trans- 

 formieren, daß 



