244 Gesaiiimtsitzung vom 23. Februar 1911. 



wird. Die Spannung S^(-E- 5) bleibt dabei nach (5.) ungeändert, weil 

 E-U~'BU = U~'(E-B)U ist. Da jene beiden Formen ähnlich sind, 

 so müssen a^, a^, ■■■ a,, mit b^, b^, ■■■ b„ übereinstimmen, abgesehen 

 von der Reihenfolge, und mithin ist BAB~^ = P'^AP, wo P eine 

 Permutation ist, also eine Matrix der Determinante \P\ = J- 1 , worin 

 in jeder Zeile und in jeder Spalte ein Koeffizient gleich 1 ist, die 

 n-\ andern verschwinden. Ist z. B. P die Matrix der Substitution 

 y^^ = t\ ,yß = v^,i/^ = v,.,---, so ist P'^AP ^ P' AP die der Form 

 a^/UiV^ + OßU^v^ + CM-ii's 4- • • • , die durch diese Substitution und die ko- 

 grediente a;„ = m, , Xt, = w, , j:,, = «3 , ••• aus A ^ 'Xa^X;y^ hervorgeht. 

 Ist nun PB = Q, .so ist AQ = QA. Wird dann, wie oben, 

 .1 = aEi + bE.,+ ■■■ gesetzt, so sei Q gleich 



Qu Q^. ■ 



wo Q„3 = E^QE., ist, also die Teilmatrix Q,2 aus den Koeffizienten 

 von Q besteht, welche die Zeilen 1,2. ...r mit den Spalten r + 1, 

 r + 2 , ■ • . r -\- s gemeinsam hal)en. Damit Q mit A vertauschbar sei, 

 ist notwendig und hinreichend, daß Q„2 = ist, falls u von ß ver- 

 schieden ist. 



Angenommen nun, P sei niclit mit ^1 vertausch! )ar. Wird dann 

 P in analoger Weise in die Teilmatrizen P„3 zerlegt, so muß mindestens 

 eine der Matrizen P„q, , worin ot, von ß verschieden ist, einen von Null 

 verschiedenen Koeffizienten p^, = 1 enthalten, etwa eine solche, wo- 

 rin a</3 ist, so daß auch y. <A ist. Da Q„2 = ist, so ist q.^^ = d. 

 Die übrigen Koeffizienten p^. der jcten Zeile von P sind dann 0, also 

 alle Koeffizienten einer Zeile von P„„ , so daß die Determinante | P„„ | = 

 ist. Es muß aber auch mindestens eine der Matrizen P^j , worin 7 > S 

 ist, einen Koeffizienten j\„ = l(/>i>v) enthalten. Soiist wäre nämlich 



\P\ — \P IIP IIP !...=:() 



Da P eine (reelle orthogonale) unitäre Matrix ist, so ist nach (6.) 

 p(E-B) = ^(E-P-^Q) = ^(F-Q) 



wo p die Zahlen 1 , 2 , • • • ?i mit Ausschluß von x, und wo er diese Zah- 

 len mit Ausschluß von Ä durchläuft. Denn da p^^ = 1 ist, so ist 

 ;j^, = p^^ = 0, und da p^^ = 1 ist, so können die Indizes jj., v weder 

 mit f,A noch mit z , t übei-einstimmen. Nun ist QQ' ^ E, mithin 



i = k»xl'+2 i9-l' = o+S I /'--?- IN 



und folglich ist 



^{E-B)^ 4. 



