24ß Gesainiiitsitzung vom 23. Februar 1911. 



und uach (9.) 

 c =^i\e''" - e-'"\- s\n- {^] = 8 sin^ (« ) siu^ (ß) =; 'lab vos'' ( *- j cos= ( ^J . 



Dies Beispiel, das ich Hrn. Schur verdanke, zeigt, daß in der For- 

 mel (8.) der Zahlenfaktor 2 nicht durch einen kleineren, konstanten 

 oder von n abhängigen, ersetzt werden kann. Der folgende Satz III 

 ist auf diese beiden Matrizen niclit anwendbar, weil sie niclit eine end- 

 liche Gruppe erzeugen. Übrigens ist in (8.) stets c < 'Iah und nur 

 dann c = 2ab, wenn a oder h =. Q ist. 



III. Sind A und B zwei unitäre Formen einer endlichen Gruppe, 

 und ist 



^(E-A) < l , ^{E-B) < 4, 



so ist A mit B vertauschlxir. 



Sei C der Kommutator A'on A und B , D der von ^-i und C ,■■■ N 

 der von A und M. Dann ist 



^(E-C) < -la^iE-B) = 2alj, ^(E-D) < ■2a^{E-C) < (2ayb, 



allgemein 



. : . PlE-N) < (2a)'b, 



falls i\" die ite der Formen C,D,-K,L,M,N ist. Ist nun die 

 Größe 2g < 1 (nicht = 1), so nehmen ihre Potenzen unbeschränkt ab, 

 und da die Gruppe ® endlich ist, so muß einmal ^{E-N') = 0, also 

 N= AMA-'M-' =■ E werden. Demiiachist A mit M, dem Kom- 

 mutator von A und L, vertauschbar. Da außerdem ^(E-L) < fi < 4 

 ist, so ist A auch mit L vertauschbar, dem Kommutator von A und K, 

 also auch mit K und jeder vorhergehenden Form, mithin auch mit B. 

 Insbesondere sind je zwei unitäre Formen einer endlichen Gruppe 

 vertauschbar, für die 2c-(E-S) < 1 ist. 



• ' Sind Ti und B zwei vertauschbare unitäre Matrizen, so sind es 

 auch e'^A und e''B. Daher sind nacli (10.) zwei Matrizen stets ver- 

 tauschbar, wenn in jeder die Sinus der lialben Differenzen der Phasen 



f/), , (/)„ , ■•• fh absolut < ,=^= sind. 



" ^- '" ]/8« 



§ 3- 

 Seien E, S, T, U, ■■■ die sämtlichen Formen der Gruppe ®, welche 

 der Bedingung 2^{E-S) < 1 genügen. Mit S genügt ihr auch S~\ 

 weil E-S~^ = -S'^{E-S) ist, und B~^SR, falls B irgendeine Form 

 von ® ist. Daher ist 



^ = E+s+r+u+--- = Ä-'©ß 



