252 Siuiiiig der j)liys.-iii;itli. ri;iss(- v. 2. Rläi/. 1911. — Mittli. v. I.Dec. 1910. 



Über die GAUSs'sche Theorie der elliptischen 

 Functionen. 



Von F. SCHOTTKY. 



(Vorgetragen am 1. Deceuiber 1910 [s. Jalirg. 1910 S. 989].) 



Uen Ai'beiten von Jacobi und Abel, hauptsächlich den um 1828 er- 

 schieneni^u « Fundanienta « und den »Recherches", verdanken wir unsre 

 Kenntnis.s der elliptisclien Functionen. Zu diesen Arbeiten der beiden 

 Entdecker sind Notizen aus dem Nachlass von (tauss gekommen, die 

 weit später veriift'entlicht, aber weit früher niedergeschrieben sind, 

 als Abel's und Ja cobi's Untersuchungen; eine Zeitangabe in dem Gtauss- 

 schen Handbuche lautet: »Functiones Lemniscaticas conslderare coepe- 

 ramus 1797. Januar. 8.« Die Gxuss'schen Notizen, so zaidreich sie 

 sind, geben keine vollständige Theorie. Sie geben die Gedanken eines 

 grossen Blathematikers über einen wichtigen Gegenstand, und es tritt 

 in ihnen gegen das, was Abel und Jacobi mitgetheilt haben, ein 

 Unterschied hervor, der nicht unwesentlich ist; Gauss ist nicht, um 

 zur Darstellung der elliptischen und Thetafunctionen zu kommen, durcli 

 das complicirte Transformations- und Multiplicationsproblem hindurch- 

 gegangen. Auch betrachtet Gauss die elliptischen Functionen wesent- 

 lich als abhängig von zwei Veränderlichen : eine davon ist die eigent- 

 liche Variable, die andre der Parameter, an dessen Stelle später der 

 Modul tritt. Mir scheint sogar, dass die Modultheorie für Gauss die 

 Hauptsache gewesen ist. Die GAussschen Notizen zu ergänzen, so, 

 dass eine abgeschlossene Theorie daraus entsteht, ist bei der UnvoU- 

 ständigkeit des Materials eine schwierige vSache. Was ich hier thun 

 will, ist P^olgendes. Ich greife einige der Gedanken von Gauss auf, 

 um von dem, was Gauss sowohl wie Jacobi erreicht haben, eine Dar- 

 stellung zu geben, die auch denen verständlich sein soll, die nicht 

 eigentliche Mathematiker sind. Dazu ist es nöthig, dass ich in dem 

 Haupttheil der Untersuchung von der Benutzung imaginärer Werthe 

 ganz absehe. Ich stelle mir geradezu die Aufgabe: die Theorie der 

 reellen elliptischen Functionen zu entwickeln, und bestrebe micli hier- 



