Scuottky: ÜAUss'.scIie Theorie der elliptischen Functionen. 258 



bei, nicht uiöglichst neue, sondern möglichst einfache Vorstellungen 

 zu verwenden. Ich vermeide auch mehrdeutige Ausdräcke. Wenn 

 Wurzelgrössen oder Logarithmen auftreten, so sind es immer positive 

 Wurzeln, reelle Logarithmen positiver Grössen. 



§1- 

 Geht man aus von der Gleichung der Ellii)sc 



- + 77 = 1 

 a 



und betrachtet x und // als abhängig vom EUipsenbogen s, so ist es 

 vortheilhaft, neben x und y noch eine dritte Coordinate des Ellipsen- 

 punktes einzuführen, eine positive Grösse z, deren Quadrat 



b' d' 



z" = ^x^ + --y' 



ist. x , y und z sind periodische Functionen von .>;. Ihre Periode ist 



der Umfang der Ellipse, den wir mit 27rR bezeichnen, so dass R der 



Radius der Ellipse ist. Vermehrt man .<; um den halben Umfang, so 



gehen x und y in — x und — ij , z aber in sich selbst über. 



„ . , . „ ^ äx y dy _ x dz , xy 



Es ist, bis auf constante ractoren, — — mit , — ^mit , ——mit — - 



ds z ds z ds z 



identisch. Wir fügen eine fünfte Veränderliche u hinzu, und zwar 

 so, dass 



du I 



ds z" 



ist. Diese Grösse u durchläuft, da z beständig zwischen n und b bleibt, 



gleichzeitig mit s das ganze Zahlenintervall von — oo bis +oo; wir 



können sie deshalb zur vuiabhängigen Veränderlichen machen. Das 



hat den offenbaren Vortheil, dass wir einftichere und gleichmässigere 



Differentialbeziehuiigen erhalten. Der Diflerentialquotient jeder der 



drei Coordinaten nach u ist bis auf einen constanten Factor gleich 



ds 

 dem Product der beiden andern Coordinaten: es ist ausserdem — — = c^ 



du 



Dass damit der Anfang einer Theorie gemacht ist, muss sich erst 



zeigen, indem man weiter schliesst. 



Zunächst ergänzen wir die Voraussetzungen. Wir nehmen an, 



dass der Bogen vom höchsten Punkte der Ellipse gerechnet wird, und 



zwar positiv nach rechts. Wir nehmen ferner an, dass u gleichzeitig 



mit .s verschwindet. Dann sind x und u ungerade, y und z gerade 



Functionen von .s% und wenn wir u als unabhängige Veränderliche 



