Schüttky: GAUss'sche Theorie der elliptischen Functionen. 255 



Es sind ausserdem A' und - Mittelwerthe zwischen u und h. 



A 



Dies ist leicht zu sehen, da die Grösse z = Vd' — y.x' zwischen a und b 

 bleibt, und 



dx TV 



JVa' — x' 2 



ist. Die Grösse M = - ist das GAUSs'sche Mittel zwischen a und li. 

 A 



R und A sind Functionen von a und h. Aber der Quotient und 



das Product 



^ A 



= P , Act = OL 



a 



hängen bloss von dem Verhältniss der beiden positiven Grössen ab. 

 Es ergiebt sich, wenn man in den Integralen x durch ax ersetzt: 



dx ~ r)/i — Kx" , 



dx 



2 j V i — x')/i — xa;'' 2 j }/i — x" 



Wir fügen endlich noch diejenigen Ausdrücke hinzu, die sich 

 ergeben, wenn man in den Integralen die dritte Coordinate z zur 

 Integrationsvariablen macht. Wii- setzen dabei voraus, dass a grösser 

 als b ist, dass somit z abnimmt von a bis b, wenn x von o bis n 

 zunimmt. Dann wird: 



^-A = 



2 jVa^—z']/z'—b' 



z'dz 



R= , , , 



§2. 



Wenn wir unter f{u) entweder die Function x , oder y , oder z 

 verstehen, und die Ableitung von f{u) mit f'{u) bezeichnen, so ist 



(/'(w))'=/,:+//^(M)+/;.r(w), 



wo Je, l, in drei Constanten bedeuten. Functionen, die einer solchen 

 Gleichung genügen, haben ein Additionstheorem. Den wichtigen Satz 

 hat Euler bewiesen, aber nicht in dieser Form ausgesprochen; er hat 



