256 Sitzung der phys.-niatli. Classe v. 2. März 1911. — xMitth. v. 1. Dec. 1910. 



dadurch die Entdeckung der elliptischen Functionen seinen Nachfolgern 

 überlassen'. Ein einfacher Beweis ist folgender: 



Aus der angenommenen Gleichung ergiebt sich durch Differentiation 



f"(u) = //(?/) -4- 2 m/3 (w). 



Es sei^(M) eine zweite Function, die derselben Differentialgleichung 

 genügt. Dann ist identisch: 



r(i<)(g'(u)y-r/{u)(f{u)y = {r{u)-y^(u)){k-mr{n),/{u)) . 



Von den Factoren auf der rechten Seite nennen wir den ersten 

 L, den zweiten M. Auch die linke Seite zerfällt in zwei Factoren, 



f{u)y'{u)-f'(u)y{v) und f[u)g'[u) + y{u)f'(u) = ^{f(n)y{u)). Wir 



nennen den ersten G, den zweiten H. Dann ist GH^LM; es 

 ist ferner: 



dG , „ 



-^=,/(w)5' (?')—/ (u)'jii') = —2>iif(u)g{u){f'{u) — <f{u)), 



also: 



dG ... 



-— =—2mf(ii)(/(u)L. 



Es ist aber auch : 



-—=—2 mf{u)rj{u) -- {f{u)y{u)) = — 2 mf{u)y(u)H. 



Folglich ist: 



dG dM , ,, ^, ,^ 

 du du 



Daraus ergiebt sich, dass der Quotient 

 G _ L _ 



eine Constante ist. Es besteht also zwischen /(w) und y(u) eine alge- 

 braische Gleichung, die hier in zwei Formen: (t = cM und L := cH 

 dargestellt ist. 



Es sei w irgend ein von u unabhängiger Werth. Dann können 

 wir y(u) =:f{u-i-w) setzen, denn f(u-{-w) genügt derselben Differential- 

 gleichung wie f{u). Indem wir u = o setzen, erhalten wir für c einen 

 Ausdruck durch ,/("") und f'{tv)- Wir können demnach sagen: Bei 



' Genau dasselbe gilt von Niels Henrik Abel. Die »ABEL'sclien Functionen« 

 sind, ebenso wie die Theta, ganz eine F^rfindung deutscher Mathematiker. — Man 

 vergleiche übrigens mit den Entwicklungen dieses Paragraphen: Gai'ss' Werke, Bd. III, 

 Lemniskatische Functionen II. insbesondere Art. 14, S. 421 — 423. 



