Schotiky: Gauss 'sehe Theorie der elhptischen Functionen. 25^ 



willkürlichen Werthen von u und lo besteht eine algebraische Grleichung 

 zwischen f{u), f(iv) und f(u-hw). 



Diese Gedanken sind etwas allgemeiner, als wir sie brauchen. 

 Wir verstehen unter /(w) speciell die ungerade Function x; wir setzen 

 ausserdem, da es auf die Wahl der Längeneinheit nicht ankommt, es 

 aber vortheilhaft ist, nur einen Parameter zu haben, mit Legkndre und 

 Jacobi, a gleich i. Wir haben es dann nur mit zwei Functionen x 

 und .s" zu thun, die den Gleichungen 



-— = ( I — .1 ) ( I X.iC ) , — — = 1 KX 



du j au 



genügen. Sie sind beide ungerade; ihre Ableitungen werden gleich i 

 für M = o. 



In diesem besonderen Falle ist, wenn wir unter g{u) die Function 

 f{u + «•) verstehen : 



M = i— y-nu)r (m + w) , G = f[u)f'{u -\- w) —f'{u)f(v + w) 



und c = — f{w): denn für u = o reducirt sich M auf i , G auf — /(«•'')• 

 Es bestehen also, bei willkürlichen Werthen von u und >o, die Gleichungen : 



f{u)f'{u -+- w) —f'(u)f(u ■+■ w) ^ _ 



-/(«') ^ (/(»)/(« + to)) = riu) -r{u + w) . 



Daraus folgt zunächst das Additions- und Subtractionstheorem der 

 Function f{u) in der bekannten Gestalt: 



l — ^fHfiu) 



f{u)f'(n')-f(u')f'(u) _ 



ferner aber die Gleichung: 



s (u -+■ w) — s(u) — s{w) = — y.f{u)f(w)f{u -+- w) . 



Denn wenn man die Ausdrücke auf beiden Seiten, die beide für 

 M = o verschwinden, nach u dift'erenzirt, so erhält man links, da 

 s'(u) = I — y-f^{u) ist: X (/''(«) — f^{u -+- w)), und rechts dieselbe Function. 

 Wir setzen hier lo ■=l u und «i = — u , und addiren die beiden 

 Gleichungen. Dann folgt: 



s{u + u) -hs(u — u') — 2 s{u) = — y.f(u)f{u') {/{u + m) — /(« — u)) . 



