258 Sitzung der phys.-math. Classe v. 2. März 1911. — JMittli. v. 1. Dec. 1910. 



Der Ausdruck rechts ist, nach dem Additions- und Subtractionstheoreni 

 der Function f{u) , gleich 



-2:cJ\u)f'(u)r{u') 



i-^r{u)f'(u') ' 



und dies ist gleich ^rr-^ — , wenn wir den Nenner mit iV^ bezeichnen. 

 ' N du 



I dN 

 >t gleich 



Es ist also 



S (ll -htl')-hs{u — U ') — 2 .S- (w) = — -r — 



N= I— x/^(m) f'(u'). 



Diese Gleichung, gewonnen durch Integration aus einer Form des 

 Additionstheorems für f{u), weist darauf hin, dass wir mit dem In- 

 tegriren noch nicht fertig sind. Am einfachsten wäre es, eine Function 

 einzuführen, deren Ableitung s{u) ist. Aber wir müssen vorsichtig 

 sein. Es handelt sich hier um die erste Einführung der JACoiifschen 

 Thetafunction, imi die (.xAusssche »neue Transcendente « , die so wichtig 

 ist, dass, sobald man ihre p]igenschaften kennt, das Interesse an den 

 Integralen u und s sowie an den elliptischen Functionen selbst da- 

 gegen zurücktritt. 



u und s waren aufs Gerathewohl so definirt, wie sich diese 

 Grössen zunächst darbieten, wenn man an nichts Anderes denkt. Aber, 

 was bis jetzt bewiesen ist, bleibt im Wesentlichen bestehen, wenn 

 man zu u noch einen constanten Factor hinzufügt und wenn man s 

 durcli eine lineare Function von u und ^s ersetzt, s ändert sich um pir, 

 wenn sich u um octt ändert; die Differenz 



US — pU := t 



bleibt ungeändert. Wir können demnach die elliptische Bogenfunction 

 .« in zwei Theile zerlegen, von denen der eine, — ii, proportional u 

 ist und somit positiv wie negativ beliebig gross werden kann, während 



der Rest, — , periodisch ist mit der Periode ätt und daher zwischen 



a 



endlichen Grenzen schwankt. 



Mit den Eigenschaften der Function t und der sich an / an- 

 schliessenden S- hat die Zahl a, die in complicirter Weise von x ab- 

 hängig ist, wenig zu thun. Wir setzen deshalb zweitens: 



Dann ist f eine ungerade Function von r, die ungeändert bleibt, wenn 

 man v um t vermehrt. 



