StHOiTKY: GAMSs'scIie Theorie der elliptischen Functionen. 259 



Das Integral von t, tdv, inuss eine gerade Function von v sein, 



und sie könnte sich höchstens um eine Constante ändern, wenn nuin 

 D um TT vermehrt. Diese Constante nuiss o sein. Denn ist: 



(r + TT) = </. (r) -\-C, (/, (— i)) = </> {f) , 



so folgt daraus, indem man r durch — v — tt ersetzt: 



(/)(c) = (/)(r-»-77H-C; 

 es ist also C ::= o. 



Nun bilden wir, indem wir unter c einen vorläufig willkürlich 

 bleibenden constanten Factor verstehen, 



ftdv 



^(r) = ce° . 



Dann haben wir eine gerade Function von v, mit der Periode tt, die 



nicht verschwinden, also auch nicht ihr Zeichen ändern kann; sie 



genügt der Gleichung 



d^ 

 ;& = — , 

 nv 



und e ist der Werth, den sie für = annimmt. Das einfachste 

 wäre, c = I zu setzen. Aber man wird von vornherein vermuthen, 

 dass wir diese Bestimmung später ändern müssten. 



Neben S-(r') füliren wir, mit Jacobi, eine zweite Function ^,(u) 

 ein, wiederum mit einem vorläufig willküi'licli bleibenden constanten 

 Factor C, indem wir 



Cx = 



^(ü) 



setzen, x ist ungerade und ändert aucli sein Vorzeichen, wenn man 

 u um üLTT , also v um tt vermehrt. Dieselben Eigenschaften hat dem- 

 nach S-,(?;). Es ist 



S.fü + TT) = — ^,(ü); ^,(— r) = —&(»), 

 während : 



^ (r + TT) = ^ (r) ; S- (— «) = I^ {v) 



ist. — Nun gehen wir zurück zur letzten Additionsformel, die wir 

 mit OL multipliciren. Es ist 



1 d^{v) 



