260 Sitzung der phys.-math. Classe v. 2. März 1911. — Mitth. v. 1. Dec. 1910. 



Entsprechende Ausdrücke haben wir für cis(u-hu'), us{u — u), wenn 

 wir neben u ^ xv auch u' = clv' einführen. Es wird ausserdem 



Wir haben also, wenn wir die Ableitung von S^(r) mit ^'(v) be- 

 zeichnen : 



^'(ü-hv') :^'(v — v') S-'(ü) _ I dN 



^{v-hv') "*" ^(v — v') ~^ ^{v) ~l(lv' 



Diese Gleichung können wir integiüren ; es folgt aus ihr, dass 

 ^(ü-t-v') ^{v — v') 



sich von N nur um einen constanten Factor unterscheidet. Dieser 

 Factor ist auch von c' unabhängig, da beide Ausdrücke in Bezug auf 

 und /'' symmetrisch sind. Aber es kommt auf den constanten Factor 

 weniger an, als darauf, dass hier bewiesen ist: 



Das Product S-(ü-j-i/) 3-(?j — v') lässt sich linear und homogen, 

 mit Coefficienten, die von c unabliängig sind, durch S-'(») und ^Kv) 

 ausdrücken. 



Von S-, («; + <;') S-,(ü — o') gilt dasselbe. 



Denn bilden wir das Product /(w-f-w') f{u — u'), so ist dies einer- 

 seits, bis auf einen constanten Factor, mit 



S-,(ü-t-ü') ^,{v — v') 

 ^{v-hv') ^{v — v') 



andrerseits, nach dem Additions- und Subtractionstheorem, mit 



r(u)-r(u') 



l—Kp{u)f'{u') 



identisch. Der Nenner des letzteren Ausdrucks ist proportional 

 &(ü-+-ü') ^{v — v') 



Demnach ist S-, (r + ^'') S-,(i; — r) proportional 



s-'(^o ^'(v) ir(u)-r{ti')), 



also proportional 



&=(r) ^l(t-') — :^\(D) S-=(c'). 



Wir kommen so zu dem Satz: 



Die beiden Functionen S-(ü) und S-, («) haben die Functionaleigen- 

 schaft, dass alle Functionen, die sich ergeben, wenn man in den Pro- 

 ducten 9-(c+r')S-(r — v') und C-, (r -»- t'') Sr,(r — v') für o' verschiedene 



