S<iiorrKv: Gauss'scIh' Tlieorie der elliptischen Functionen. 2nl 



cüiistMiite Werthe setzt, sich linear und homogen durch zwei unter 

 ihnen ausdrücken lassen. 



Der Satz bedarf noch einer Ergänzung. Betrachten wir das Addi- 

 tionstheorem im- f{u-i-u'). f{u-\-u') selb.st ist proportional 



In dem Ausdruck, der/(M + w') darstellt, ist der Nenner proportional 



' W(p)¥(i7) ■ 



Es ist daher 



^_((, + „')^(,. _ ,-') mit &^(r) :-^^(«') {f{u)f\u') +/(M)/'(«)) 



bis auf einen constanten Factor identisch. Setzt man für den Augen- 

 blick ^\v)f(ii) = L{v), ^'{r)f'{ii) = M(v), so hat man: 



wo A , fj. von r unabhängig sind. Die Producte ^{v — v') S-, {f- ■+- v') bilden 

 daher ebenfalls eine Schaar von Functionen der Variabein v, in der 

 sich nur zwei linear unabhängige befinden. 



§ 3- 

 Wir haben bei der Dolinition von c^ und 9-, zwei constante Fac- 

 toreii willkürlich gelassen. Der eine, c, ist der Werth von S- für 



V = o , der andre, C, kommt in der aufgestellten Gleichung 



vor. c >md C können Functionen von •/, sein; wenn wir sie zweck- 

 mässig bestimmen wollen, müssen wir S- und S, als Functionen von 



V und X betrachten. Das Entscheidende sind die partiellen Differential- 

 gleicliungen. denen 9- und 9, genügen. Sie sind deshalb etwas um- 

 ständlich aufzustellen, weil man es zuerst mit den Grössen u und ,s 

 zu thun hat, von diesen aber zu v und t übergelien muss. Da S-, und, 

 bis auf den Vorzeichenwechsel, auch &,, ungeändert bleibt, wenn man 

 ;? um TT vermehrt, so können wir uns auf die Werthe von v zAvischen 



TT TT 77 TT 



und + , auf die von u zwischen — a und -»- o£ beschränken. 



2 2 2 2 



Dann sind u und .s durch die Integrale gegeben: 



dx (Vi — "^^ 



Vi — x' ]/ 1 — KX' 



dx . 



