26(i Sitzung der phys.-matli. Classe v. 2. März 1911. — Miltli. v. 1. Dec. 1910. 



§4- 

 Es ist klar, dass die partielle Differentialgleichung wichtig werden 

 muss, sobald man sich die Aufgabe stellt, & und S-, durch FouRiERsche 

 Reihen auszudrücken. Aber es ist zweckmässig, zuvor die Abhängig- 

 keit der Grösse a und einiger noch hinzutretender Grössen vom Para- 

 meter K genauer zu untersuchen. Durch die Gleiclmng 



dx 



Vi — x^ Vi — Kx" 



ist cc definirt als Function von x, und zwar für alle Werthe von x. 

 zwischen i und — oo. Sie hat einen positiven Werth, von dem man 

 ohne Weiteres sieht, dass er zunimmt mit zunehmendem x. Denn die 

 Function unter dem Integralzeichen wird durch eine andre mit durch- 

 weg grösseren Werthen ersetzt, wenn man x vergrössert. Bei der 

 Annäherung von x an den Punkt i wird un unendlich, und zwar 



logarithmisch; die Differenz cnr — log 1 j wird für x = i nicht un- 

 endlich, sondern o. Es ist dies ein Satz, der unscheinbar aussieht, 

 xiber an ihm sind Euler, Legendre, Jacoiu betheiligt, und zwar so, 

 dass es schwer ist, zu sagen, wer von den dreien an seiner Entdeckung 

 und an seiner sichern Begründung den grössten Antheil hat. Euler 

 stellt eine richtige Überlegung an, die sich aber nicht auf das Inte- 

 gral TTot, bezieht, sondern auf -c , den halben Umfang der Ellipse mit 

 den Halbachsen i und K i — x; Legendre stellt den Satz auf für tto., 

 aber mit nicht ausreichender Begründung; Jacobi beweist ihn für Tra, 

 mit absichtlicher Anlehnung an die Euler^scIic Methode. Seitdem sind 

 mehrere Beweise gegeben worden. Es schadet nichts, wenn zu ihnen 

 noch ein einfacher hinzutritt. 



Ich vergleiche ttcj mit einem andern Integral, indem ich bilde: 



2dx ('Vi — xa;" — Vi — x" , 



= 2 1 ^=^= dx. 



I — x.i:' J yi — -rf[l — -/.X^) 



Ich führe .statt x die Variable ein 



_ Vi—x' 



Vi — xj;^ 

 die von i bis o al)nimmt, wenn x von o l)is i zunimmt. Dann ist 



' l — KX' — Vi — X 



Vi — x' {l X 0-") 



