268 Sitzung der pliys.-matli. Classe v. 2. März 1911. — Mittli. v. 1. Dec. 1910. 



ersetzt. Denn führt man zwei positive Grössen n , h ein, die mit k 



b' a 



in der Bezienuns' stehen: i — >c := — , so ist — eine symmetrische 



ad' 



Function von a und h. Bei der Vertauschung von a mit h geht x 

 in y.' über. Nennt man a.' die Function, in die hierdurch a. über- 

 geht, so ist demnach — = -y, mithin a.' ■=. ci^ \ — •/.. 



Lässt man nun v- sich dem Werthe i nähern, so nähert sich jc' 

 dem Werthe — oo, si' dem Werthe o. Damit ist bewiesen: 



Ä wächst beständig, und zwar von o bis oo, wenn y. das ganze 

 Intervall von — oo bis i durchläuft. Speciell ist a = i für y. ^ o. 



Da ein Mittelwerth zwischen a und h ist, so liegt — zwischen 

 a. a 



I und Vi — jc, i zwischen o und 



1-/7=7.= "■ 



]/i — y. 



Um so mehr liegt i zwischen o und x. 



Der Satz der drei Mathematiker lässt sich schärfer fassen, indem 

 man die Function a. direet ausdrückt durch den Logarithmus von 



I — X 



und durch zwei Functionen, die nicht nur bis zum Punkte x = i, 

 sondern darüber hinaus für alle positiven Werthe von x definirt sind 

 und die sich an der Stelle x ^ i regulär verhalten. Die Grundidee 

 einer solchen Darstellung geht el>enfalls auf Euler und Legendri: zurück. 

 Eine der beiden Functionen, die wir zu Hülfe nehmen, ist die- 

 jenige ;8, die aus a hervorgeht, indem man x durch i — x ersetzt. 

 Sie ist damit definirt für alle positiven Werthe von x. Sie wird i 



für X = I, unendlich für x = o, aber tt/S — log | — ) wird unendlich 



klein, wenn x abnehmend sich dem Werthe o nähert. Es wird da- 

 her auch 



TT : log ( — ) , 



und, da i zwischen o und x liegt, x log ( — | aber für x ^ o ver- 



a, \^ j 



schwindet, 



/3 , / 2^' 



unoidlich klein bei der Annäherung von x an den Werth o. 



