Schottky: GAUss'sche Theorie der elliplisclipTi Functionen. 269 



Wir setzen 



ß 



TT — ^ U) . 



a 



Diese Function von a existirt nur in dem Intervall von o bis i , 

 wo a und ß gemeinsam existiren. In diesem Intervall nimmt u zu 

 von I bis oo, ß nimmt ab von oo bis i ; also ist w negativ und nimmt 

 beständig zu, A^on — oo bis o, wenn k von o bis i wächst. Die Diffe- 



renz w — log I -^ j wird unendlich klein bei der Annäherung von x 

 an den Nullpunkt. Wir bezeichnen sie mit 47: 



UJ = logl -;, 1 + 47. 



Nun lässt sich der Differentialquotient von w angel)en. et, genügt 

 der Differentialgleichung Di(ji) = o, wo D{(ji) den Dil'ierentialausdrnck 



d ( dci>\ 



i»(./>) = 4— xli-x) -f -f/> 

 (IK \ dx. J 



bedeutet. Dieser bleibt ungeändert, wenn man x durch i — k ersetzt. 

 Daraus folgt, dass ß derselben Differentialgleichung genügt wie u, 

 und daraus weiter, dass 



/ dß du\ 



eine Constante ist. Es ist dalier: 



dtjü s 



dx X (i — x)a^ ' 



wo e einen constanten Factor bedeutet. Dieser Factor ist gleich i . 

 Denn es ist 



dw I dy 



■ zr = — ^4-,-- 



«X X «X 



Wäre £ A'on 1 verschieden, so würde — ,— für x :^ o von der ersten 



ax 



Ordnung, 7 selbst dort logarithmisch unendlich werden. Da das nicht 



der Fall ist, so muss s = i sein. Da ferner 7 für x = o verschwindet, 



so ist 



4^=J Vx(i-x)..^ •a)'^'''-- 



Hier steht unter dem Integralzeichen eine Function von x, die 

 sich auf der aanzen Strecke von — oc bis i regulär verhält. Wir vor- 



