270 Sitzung der pliys.-niatli. Classe v. 2. März 1911. — Mitth. v. 1. Dec. 1910. 



stehen jetzt unter 47 dieses Integral. Dann ist 7, ebenso wie a, für 

 das ganze Intervall von — 00 bis i als reguläre Function von x de- 

 finirt; sie verschwindet für x = o. In dem Theilintervall von o bis i 

 aber haben wir: 



-77 /3 



47. 



Wir vertauschen jetzt x mit i — x. Dadurch geht 7 über in eine 

 Function 7, , die füi- x = 1 verschwindet, und die sich an der Stelle 

 x. = I regulär verhält. Wir erhalten so: 



7r^ = ,/3logr ^'^)-4^7.• 

 Die Gleichung gilt zwar nur l)is zu dem Werthe x = i. Aber 

 die in ihr auftretenden Grössen /3 und 7, sind Functionen, die über 

 den Punkt x = i hinaus detinirt sind und die sich in diesem Punkte 

 regulär verhalten. 

 Wir setzen: 



q = -''' e"'' . 



Damit ist eine Grösse q delinirt, der JAC0Bi"sche Modul der ellip- 

 tischen Functionen, ebenfalls so, wie 36 und 7, für die ganze Strecke 

 von — 00 bis I ; sie ist positiv für die positiven, negativ für die nega- 

 tiven Punkte der Strecke und verschwindet für x = o von der ersten 

 Ordnung. In dem Intervall von o bis i aber ist 



rj) = log {q) , q = ('""' ; 



und da in diesem Intervall w bei zunehmendem x die Werthe von 

 — CO bis o durchläuft, so durchläuft q, beständig wachsend, die Werthe 

 von o bis i . 



— -B 



Aus der Gleichung a = folgt durch \ ertauschung von x 



mit I — X die Eigenschaft der Function ui : 



£/j(x)t/j(l — X) = -\ 



Eine ähnliche B^igenschaft besitzt q. q genügt, längs der ganzen 

 Strecke von — 00 bis i, der Gleichung: 



dq dy. 



q x(i — y.)ot' 



Nennen wir cc' und q' die Functionen von x, in die u und q über- 

 gehen, wenn man x durch x' = ^^ — ersetzt, so ist 



