Sciioitky: Gauss'scIic Theorie der elliptisclien FuiictionRii. 271 



(l — JC)fl6 = (ä ) , 



X. x'(i X.') 



daher 



dq dq' 



Mitliin ist (?' = cq, wo c einen constanten Factor bedeutet. Ver- 

 tauschen wir X mit x', so folgt: q = cq'\ es ist also r^ :^ i . Es 

 muss aber f negativ sein; denn wenn x in dem Theilintervall von 

 o bis I liegt, so liegt x' in dem von o bis — oo; es ist daher q positiv. 

 q' negativ. Folglich ist 7'= — (/. Demnach besteht die Gleichung: 



= -g(x). 



Lassen wir nun x die Werthe von o bis — 00 durchlaufen, so 

 diu'chläuft x' die von o bis i, q' ebenfalls die von o bis i, und q die 

 von o bis — i . Damit ist bewiesen : 



Wenn x das ganze Intervall von — 00 bis i durchläuft, so nimmt 

 q beständig zu, und zwar von — i bis + 1 . Es nimmt also q nur 

 Werthe an, die zwischen — i und + i liegen, und jedem dieser Werthe 

 entspricht ein bestimmter von x. Wir können deshalb den Parameter x 

 als Function des Moduls (/ auffassen. Die partielle Diiferentialgleichung, 

 der S- und 9^, genügen, vereinfacht sich dadurch wesentlich. Sie wird 



^-^ + 49^ = o. 

 Gv cq 



Da wir ohnedies, wenigstens bei 9-, , uns beschränken müssen auf die 

 Werthe von x, die zwischen o und i liegen, so können wir auch statt 

 q die Grösse w = log {q), den logarithmischen Modul, einführen. Die 

 Diflerentialgleichung wird dann noch einfacher: 



3'(/) 3d) 



Von Interesse ist es, den JModul q und das Gauss'scIic Mittel 



als Functionen der beiden positiven Grössen a , b zu betrachten, die 



mit X durch die Gleichung i — y. = — verbunden sind. 31 ist eine 



a 



symmetrische, q aber eine alternirende Function von a und b\ denn 



der Vertauschung von a mit b entspricht die Vertauschung von /. mit 



