272 Sitzung der phys.-math. Classe v. 2. März 191 1. — Mitth. v. 1. Dec. 1910. 



X 



. q ist positiv, wenn a>b, negativ, wenn a < 6 ist. Der Haupt- 

 satz aber ist folgender: 



M geht in sich selbst, q in q^ über, wenn man a durch das 

 arithmetische, b dirrch das geometrische Büttel zwischen a und h ersetzt. 



Am directesten wird der Satz bewiesen, indem man die Definition 

 von oc, ,3 , w durch die Integrale zu Grunde legt. 



Wir- nehmen a>b an und setzen : 



a + b /- 



a = , =: Vab. 



2 



Wir setzen ferner: 



^ = ^, B = ^. 

 a a 



also ü) ^ — ; und es seien A', B' , w' diejenigen Werthe. die aus 



A . B , üü hervorgehen, indem man a durch a', b durch b' ersetzt. 



Es war — A durch das Integral ausgedrückt 



b' 

 wo y. := I ist ; aber auch durch das folarende : 



A=- ''*■ 



2 J ]/(,' — x' Vx' — t ' 



b 



B entsteht aus A, indem man a ungeändert lässt, aber x durch 



I — y. = — ersetzt. Wir führen — als Integrationsveränderliche ein, 



bezeichnen diese aber dann wieder mit :r. Dadurch ergiebt sich, analog 

 dem zweiten Ausdruck von A : 



;. 



B ■ '^^ 



2 j Ya' — x' Vb' — x' 



Wir reduciren noch den zweiten Ausdruck füi* A, indem wir das 

 Integral in zwei Theile theilen: in das von b bis b' und das von b' 



bis a. Bei dem ersten f'üliren wir die Grösse y = — als Integrations- 

 variable ein. die von n Ins b' abnimmt, Avenn x von b bis b' zunimmt. 

 Da alsdann 



