Schottky: CiAUSs'sclie Theorie der elliptischen P'iinctionen. 27 H 



(Jx (Jy 



|/a' — x" yx^ — If Va" — y" Vy' — 6' 



so sind die beiden Theile einander gleich, und nican erhält: 



, /■ dx 



A := 2 



2 / V(i' — x' Vx' — b' ' 



ah 

 Nun sei t das arithmetische Mittel zwischen x und — , also : 



X 



ab 

 2t = x-\ . 



X 



Diese Grösse t nimmt zu von 6' bis a', wenn x von h' bis a zuniiiunt, 

 und sie nimmt ab von +oo bis a', wenn x von o bis b zunimmt. 

 'Da ausserdem 



(a-" — a'){x' — b') = 4x'{t'' — (a'Y) , 



dt 

 ist, so ergiebt sich: 



ax X 



2 J]/a'^-t^yt^-b'^' 



2 2j y(t' — a"){r — b'') 

 Die erste Gleichung sagt direct aus, dass A = A' ist. Bei der zweiten 

 müssen wir noch statt t die Grösse als Integrationsvariable ein- 

 führen, die von />' bis o abnimmt, wenn / von a' bis oo zunimmt. 



Dann ergiebt sich : B = ~ B' . Demnach ist w' = 2w. und da w ^ log {q) 

 ist: q = q^. 



Damit ist dieser Satz der GAUssschen Theorie des arithmetisch- 

 geometrischen Mittels bewiesen ; M ist nicht nur ein Mittelwerth zwischen 



a und b, sondern auch zwischen a' und //, ferner zwischen 



, ^^, 2 



und va'b' . Die Grösse , das Quadrat von 



2 



Va+Vb 



2 



kann schon als starker Näherunnswerth von M liezeichnet werden'. 



a-\-h 



' Ebenso ist das Quadrat von — j= -^ ein starker Annälieriingswerth liir den 



Ellipsenradius. ya + y > 



